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proiezioni dei iati del poligono e sui lati corrispondenti del sistema elastico, 

 allora ha luogo 



1 T 2 



F =. - 2 — - = minimo (') 



& rs £ rs 



«■ La soluzione 

 (48) F = \s sJ^ + L„Y •• minimo 



& rs \ e rs ) 



che, come abbiamo veduto al § 2, ha luogo quando il sistema è isolato, e 

 che corrisponde al caso particolare in cui le £ rj £ sieno tutte nulle, non regge, 

 in generale, quando esistono appoggi ; regge tuttavia, quando le coordinate dei 

 nodi appoggiati soddisfino alle equazioni 



~òa. v . ~òA. v . 7>A„ 



— %i + — yi -f- *t = 0 • 



f)*i 



Ciò si verifica quando i piani tangenti alle superfìcie A„ passino per l'ori- 

 gine, e siccome l'origine è arbitraria, possiamo dire che la soluzione (48) sus- 

 siste quando i piani tangenti alle superficie nei punti ove trovansi i nodi ri- 

 spettivi, passano tutte per un punto. Avrà dunque sempre luogo, quando i piani 

 tangenti alle superfìcie non siano più di tre (distinti). 



<t Se, per esempio, il sistema è piano, ed alcuni nodi debbono rimanere 

 su una retta, alcuni sopra un'altra, gli altri essendo liberi, la (48) sussiste. 



« Il teorema adunque rappresentato dalla formula (48) può avere appli- 



(') Da n punti fissi nello spazio partono altrettante aste o cordoni rettilinei die 

 fanno capo in un punto P (« § y). Applicata a questo capo una forza qualsiasi, esso passa 



T 2 



in 0 (x 0 t/o 2 0 ) ad una distanza finita da P. Le tensioni rendono minima la somma 2 — 



€ 



se i punti fissi (di coordinate x y z) si trovano sulla superficie 



O - x 0 y + (y - i/oY + (z - *„) 2 ] [> - «) 2 + (y - py + (* - r) 1 ] 



= [(« - «,) (x - «') + (y- y 0 ) (y - §') + (z - *.) (z - /)] , 



ove a' /?' y' sono le coordinate di un altro punto Q, che è il punto del poligono <r. Met- 

 tendo l'origine in 0, ossia ponendo x 0 — y 0 = z 0 = 0 , l'equazione della superficie diviene 



(x 2 + y'> + g*) (2q — 2p) = q 2 , 



essendo 



P é±a(iB^4-p(v-$) + y(*-%) . q = ** + fy + ?* ■ 



La superficie è dunque di terz'ordine, contiene un punto doppio in 0, ed una retta 

 R (p = 0 , q = 0) perpendicolare al piano OPQ, e che è l'intersezione di due piani, l'uno 

 perpendicolare a OQ e passante per 0, l'altro perpendicolare ad OP e passante pel suo 

 punto medio. Tutti i piani [A (2q — 2p) = q~\ , che passano per la retta R, tagliano la 

 superficie secondo cerchi [_x 2 -\-y 2 -\- z 1 = , onde si vede che i punti fissi possono anche 

 stare sopra un cerchio. 



