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« L'equazione differenziale lineare del terz'ordine soddisfatta dai prodotti 

 di due soluzioni della I' è 



Z'" + 4 ? Z' + 2q'Z = 0 



ossia 



x 3 (l— xfZ"' + 4x(l—x) PZ' -f- (4P(2#— 1) + %x{\—x) P') Z=0 II 

 e questa colla sostituzione 



Z=à='^'(l— a?)l*U (2) 



si trasforma nella 



^ 3 (1— ^) 3 U"'+3^ 2 (1— ar) 2 (A— (A+/i)^)u"+^(l— ^)M 2 U'+M 3 U=0 II' 

 in cui è 



M 2 — 3X l ( 1 — — Uftx (1 — a?) + S^x 2 -f 4P 



M 3 = A 2 (1 — j?) 3 — 3A, /<# (1 — + SA/*! (1 — x) — /i 2 és 3 



+ 4P (l — 1 — (A -f p — 2) a ; ) + 2Fx (1 — x) 



X^=X{X — 1) , fix— fi(fi-l) . A 2 — X(X — l) (X — 2), t u 2 ~fx(fi — — 2). 



« E dalle (1) (2) risulta che ogni soluzione della li' è eguale al pro- 

 dotto di 



x 



r ^ ( i_^-A 



per una forma quadratica di due integrali fondamentali della I. 

 « 2. Ora, perchè la II' sia della forma 



x 2 (1 — x) U r " + x (B, — k,x) U" + (B 2 — A 2 x) U' — GU — 0 III 

 dev'essere M 2 divisibile per 1 — x ed M 3 divisibile per x (1 — ^) 2 . 



« I polinomi M 2 ed M 3 sono divisibili rispettivamente per 1 — x e per 

 (1 — x) 2 quando siano soddisfatte le tre equazioni 



3^ — 3^ — 2^ — ^ = 0 (3) 



(fi — 1) (,u 2 - 2/i - A 2 -2/0 = 0 (4) 



3A/ tl + Sfi 2 + (2a + è) (4,u — 2) — (/V + 2/\) (1 + fi — 2) = 0 (5) 

 le quali, escluso il caso di A == 0, hanno le soluzioni comuni 



*) A = — y > ^ = y ; 



c) A = — 2"' ^ = 



« Coi valori a) si ottiene 

 M 2 



1 — x 



= (3A, — 8 — 6^7 — £ 2 ) — (3Ai — 8 — 6g — cf + 6^) x , 



