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e prendendo 



( 1 



Xr=) £ + 4 

 (—g—2 



risulta 



_ ? i_ I= ( ?! + 6, + 8-8Ì(X-l))>.. 



« Dunque, quando abbiano luogo le due relazioni 

 f+g = -2, h = 2 + g, 

 la II' assume la forma 



x 2 (1—x) IT'" -f x (Bx— k x x) U" -f (B 2 — A 2 x) U' — GU = 0 III 

 in cui è 



Ai =3(X + fi) , A 2 = 32 (2.u -f A - 1) — (0* + 6^ + 8) , 



B I = 3A , B 2 = 32(vl — 1)-(^ + 6<? + 8), 



■Q = (M(l-l)-(f + 6f + 8)V, 



(") ì ' '1 



ed ogni soluzione dell' ipergeometrica del terz'ordine III sarà eguale al pro- 

 dotto di 



— xf-v- 



per una forma quadratica di due integrali fondamentali della I. 



« È da osservare che, prendendo fi = 0, si ha G = 0, e che, in conse- 

 guenza, la III è soddisfatta da U = costante. Risulta da ciò che la I, ossia la 



x (1 — x) y" + (- 2 — g -f gx) y' -f (g + 2) y = 0 



ha due soluzioni il cui prodotto è eguale a x x+9+2 (l — x)~ 2 , epperò essa 

 possiede i due integrali fondamentali 



(1— x)' 1 , x^il—x)- 1 , 



per g % — 3 ; e 



(1 — x)~ l , (1 — x)~ l logx, 



per g = — 3. 



« 3. Consideriamo ora gli altri casi in cui i polinomi M 2 ed M 3 sono 

 divisibili rispettivamente per 1 — x e per (1 — x) 2 . 



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« Coi valori b) fi = — - , fi — - , ed attribuendo a l uno dei va- 

 lori 1, f, 2-f, si trova 



