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IL 



e G. L'integrale ellittico completo di prima specie di modulo k, e quello 

 corrispondente al modulo complementare, sono, come è noto, due integrali 

 fondamentali della 



*(l-*')g-d-3F)|-% = 0, 

 la quale, colla sostituzione x = k 2 , si trasforma nell'ipergeometrica 



-d— )g + d-^)f-ì, = o. 



« Questa appartiene alla classe considerata al N. 5, e, in conseguenza, 

 i prodotti di due sue soluzioni sono le soluzioni della III" in cui è 



Ai =| , B x = 3 , A 2 = , B 2 — 1 , G = | , 



f = 4x (1 — x) = U 2 (1 — k 2 ) . 

 « Ora quest'ipergeometrica del terz'ordine è soddisfatta, per mod. £ = 1 



dalla 



in cui le « sono le radici della 



a 3 + (3 — A 1 )a 2 + (A 2 -f-2 — Ai) a— G = 0 , 

 e le b sono le radici della 



ò 2 + (l— Bi)£ + B 2 = 0 . 



« Perciò, indicando con C! , C 2 , C 3 altrettante costanti, sarà 



p/2 '2 '2 ' \-=C 1 K 2 + C 2 KK 1 + C3K1 2 

 \ I , 1 . , * / 



con 



1 j/l — £ 



A 2 = 



2 



« Ma, quando £ tende a zero, il primo membro ha per limite 1 , e, pren- 



TZ 



dendo il segno superiore nella formola di k 2 , K tende a — , mentre tende 



a 



all'infinito ; in conseguenza dev'essere 



4 



C2 — C3 = 0 , Ci = r , 



TI 



e la precedente relazione diviene 



/l 1 1 V 

 P ( 2 ' 2 1 2 ' 1 = —r K 2 , 



