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« 8. L'equazione considerata al n. 6 



ossia la 



in cui essa si trasforma colla sostituzione 4x (1 — = f , è un caso parti- 

 colare della 



fd-f)g + (i-|?)| + |»(»+i) y = o «) 



la quale, per n intero e positivo, posto ? = 1 — è soddisfatta dalla fun- 

 zione sferica P„(#). 



» Ora, dal teorema dimostrato al n. 3, risulta che i prodotti di due 

 soluzioni della (a) sono le soluzioni della 



^(l-«f+<B-| J )f + ( 1 -(S_ K(K+ l)) ? )f + 



+ |«(« + 1)U = 0, 



la quale è soddisfatta, per mod£<l, dalla serie 



1 n(n+l) 1 3 ( n -l)n(>i + l)(n + 2) 



2 l 3 ?t 2'2 (1.2) 3 

 1 3 5 (a — 2)(a — !)»(»-[- l)(» + 2) 



2 2 2 (1.2.3) 3 £ 3 + 



che, per n intero e positivo, si riduce ad un polinomio del grado n mo . 



« Osservando poi che la (a), con n intero e positivo, possiede i due inte- 

 grali fondamentali 



P.(*) e P^Jlog^j^ + K»-^), 



in cui (^) significa una funzione intera del grado (n — l) mo C 1 ), il se- 

 condo dei quali tende all' infinito quando £ tende a zero, e che è P„(l)=l, 

 si conchiude 



J_ 3 (fr-i)a(»+ i )(„-f.2) 13_2»-1 1.2....2n 

 " r 2 2 (1.2) 3 7H ^ 2 2 2 (1.2...»)* 



ove le variabili sono legate dalla = 1 — £ ( 2 ) " • 



(') Heine, Handbuch der Kugelfunctionen. Zweite Auflage. Erster Band, pag. 96. 

 ( 2 ) Integrando i due membri di quest'eguaglianza da 0 ad 1, ed applicando la for- 

 inola di Legendre 



si ottiene 



_ 1 + | l (n — l)(»-t- 2) _ _ _^ (— l) w 1.2...2» _ 1 



"a P """5 (1.2) a H 2?i-h1 (1.2...m) 2 ~2kh-1 ' 



