rietà, i cui elementi lineari siano rispettivamente ds,ds x coincidono, qua- 

 lora nei due ristemi (A), (A') non agiscano forze. Ma se invece agiscono 

 forze, tale coincidenza dalle geodetiche non si verifica più in generale, e 

 perciò la corrispondenza di due sistemi d' equazioni dinamiche si distingue, 

 in tal caso in due specie, dicendosi di I a specie se le geodetiche delle due 

 varietà aventi rispettivamente per quadrato dell' elemento lineare le forme 

 differenziali quadratiche corrispondenti ai sistemi in discorso coincidono, di 

 IP specie se la coincidenza delle geodetiche non ha luogo. Pei sistemi cor- 

 rispondenti di I a specie sussistono poi le proprietà stabilite dal prof. Levi 

 Civita. 



Il sig. Painlevè, in una sua Nota (') che fa seguito ad una Memoria 

 da lui precedentemente pubblicata ( 2 ), enuncia, senza dimostrazione, alcuni 

 teoremi e risultati da lui ottenuti intorno ai sistemi corrispondenti d' equa- 

 zioni dinamiche. Uno dei teoremi da lui enunciati è questo: 



« Sia un sistema (A) d' equazioni dinamiche nel quale il numero delle 

 variabili (coordinate lagrangiane del sistema materiale il cui movimento è 

 rappresentato dal sistema in discorso) sia 2. Relativamente a questo sistema 

 agiscano forze ammettenti un potenziale U; e sia (Ai) un corrispondente 

 di I a specie di (A). Sia ds 2 la forma differenziale quadratica corrispondente 

 ad (A) (ben inteso, nel senso sopra indicato); e dicasi A'i un corrispon- 

 dente di I a specie del sistema, a cui corrispondono la forma differenziale qua- 

 dratica: ds 2 = (U -j- h) ds 2 e la funzione potenziale jjj^^ $ costante ar- 

 bitraria): (A\) sarà allora corrispondente di IP specie di (A^ e con questo 

 procedimento si hanno tutti i corrispondenti di IP specie ». 



Ora l' intento prefissomi in questa Nota si fu di dimostrare l' enunciato 

 teorema, venendo così a determinare effettivamente tutti i corrispondenti di 

 IP specie d' un sistema d' equazioni dinamiche a due variabili. Facendo 

 tale ricerca, pervenni anche a un criterio riguardante la corrispondenza di 

 IP specie, la quale sotto certe condizioni esiste fra due sistemi d' equazioni 

 dinamiche a due variabili, tali che le forme differenziali quadratiche ad essi 

 corrispondenti siano entrambe, mercè cambiamenti di variabili, riducibili alla 

 forma di Liouville. 



§ 2° 



Sia un sistema d' equazioni dinamiche (A) a due variabili a cui com- 



1 2 



petano una forza viva T = -]>~ a r$ x' r x' s e le forze: Xi , X 2 ed un altro 



ò 1 



sistema d' equazioni dinamiche (A') ad esso corrispondente, a cui competano 



(!) Sur les trasformations des équations de la dynamique. Comptes rendus ecc. 1896. 

 ( 2 ) Sur les transform. des équations de la dynamique. Journal de Mathématique 1894. 



