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una forza viva: Ti = r^ 



OC y OC $ ) ^ 



forze che si deducono da Xi , X 2 



mediante forinole stabilite dal prof. Levi Civita (Mem. cit.). È noto che 

 allora per le forme differenziali quadratiche: 



2 2 



ds* = V « r cfo? r cte s ds\ = V a r , cte r dx s 



1 1 



esiste un sistema doppio ortogonale di linee (') che assunto come sistema di ri- 

 ferimento permette di dare a ds 2 la forma 



]Ti Hj 2 rf^j 2 , a rfs? la forma ^ £i Hi 2 iste 



Di più, affinchè il sistema (A) ammetta un corrispondente, è necessario che 

 esso, qualora non agiscano forze ammetta un integrale primo quadratico ( 2 ) : 



2 



(1) V n dr rs x' r x' s = costante 



i 



A tale proposito conviene distinguere due casi. Il primo è quello in 

 cui non esista alcun integrale primo quadratico distinto da quello delle forze 

 vive, col quale allora dovrà coincidere V integrale dato dalla (1). Il secondo 

 caso è quello, in cui esista un integrale primo quadratico, diverso da quello 

 delle forze vive che sia integrale primo delle geodetiche della superficie 

 d' elemento lineare ds. 



Nel primo caso, che è quello che tratteremo nel presente § dovrà evi- 

 dentemente essere: 



dw = Hi , d 22 = H| , di2 = d 2 i = 0 . 



Di più dalle formole stabilite dal prof. Levi Civita (Mem. cit. passim) 

 si deduce agevolmente che 1- equivalenza dei sistemi (A), (A') è rappresen- 

 tata dai sistemi d'equazioni: 



(2) XlogH 2 + 2Z) g, D(U + 2Z) _ Q 



^ ~ÒX 2 Qi — Q 2 ~ÒX 2 ' 



7)(logHj + 2Z) g 2 D(U + 2Z) _ 0 

 (2>) D(U + logCi) ^_ ^(U + logg2) =Q> l(U + logg t ) _ 



~òX 2 ~òX\ ~òXi 



_ -a(U + 2Z) ^(U + log g 2 ) ^ _ D(U + 2Z) 



~ìXi ~òX 2 ~bX 2 



(') Bianchi, Lezioni di geometria differenziale, pag. 57. 



( 2 ) Levi Civita, Sugli integrali algebrici delle equazioni dinamiche. Atti dell' Acc. 

 di Torino 1896. Siccome questa Nota non verrà più citata nel seguito, coll'espressione 

 Mem. cit. che comparirà più innanzi si intenderà sempre d'alludere all'altra Memoria ci- 

 tata precedentemente. 



