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designandosi con (fi una funzione arbitraria della sola % x , con <p 3 una della 

 sola #2, pure arbitraria. Così 



2 2 



e il sistema dinamico (A) ammetterà un sistema corrispondente di II a specie 

 (A') a cui corrisponderà la forma differenziale quadratica: 



ds* = (fl - fì)fì dx\ + (/ '~ A)/1 dx\ . 



Sostituendo alle variabili x x , x% rispettivamente le 



A i~ C U 



J V fi J V 9i 



e designando ora le nuove variabili con Si , x 2 , (P + h) ds 2 assumerà la 

 forma : 



ÙZ—h fj r 2 _|_ tlZ—Il j r 2 

 2fl f 2 aXl + 2A / 2 2 ' 



mentre cfei assumerà la forma di Liouville: 



(A - ft){dx\ + AtJ) . 



Dalla forma così assunta dai (P + h)ds 2 si deduce, in base al risultato 

 stabilito dal prof. Levi Civita (Mem. cit.), che il sistema d' equazioni dina- 

 miche a cui competono la forma differenziale quadratica: 



(P + h) ds 2 



e la funzione potenziale : ) , è corrispondente di I a specie del sistema (A'), 



r -f- n 



e che tutti i corrispondenti di IP specie di (A) sono al pari di (A') corri- 

 spondenti di I a specie del sistema, a cui compete la forma differenziale 

 quadratica : (P -f- h) ds 2 conformemente al teorema del sig. Painlevè enun- 

 ciato nel § 1°. E riescono quindi determinate anche fi e f—jr • 



