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Ora a che la (1) della Nota precedente sia un integrale primo delle geo- 

 detiche della superficie d'elemento lineare ds, è necessario e basta che 

 sia O 



diz = A(A — A) , d 22 = A(A — A) d 12 = d 2ì = 0 . 

 Nel nostro caso si ha, come si deduce dalle formole di Levi Civita 



«11 = ?l(A A) > «22 = ?2(/l A)) «12 = «21 = 0. 



Così collo stesso procedimento usato per il caso precedentemente trattato si per- 

 viene ad ottenere come condizione necessaria e sufficiente alla corrispondenza 

 di (A), (A') i sistemi d'equazioni: 



(1) Pi — Qz df 2 j _ ^ TiU _j 2 A ^ 7)2 q 



A A ^<^2 7)<£ 2 A 7)<£ 2 



g2-gi Q?A "su 2 A J^z =0 

 A — fzdXi ^ 2 l>x 1 A 



, 7) (U + log gl ) _ 7) (U + log gg) _ Q 7>(U + loggi) _ XU + 2Z) 

 7)^2 D<«i 

 -5(U + log e2 ) _ _ 7>(U + 2Z) 



~Ò3C 2 ~òX 2 



Dalle (T) si ricava subito, come nel caso esaminato nella Nota prece- 

 dente : 



<?ie u = Vi . ?2^ = ^ 2 , — (U '+ 2Z) = log (tp, ip z ) + K 



designandosi con \p x una funzione affatto arbitraria della sola X\ , con \p z 

 una funzione pure arbitraria di x% soltanto, con K una costante arbitraria. 

 Così si saranno determinati q x , g 2 quando, mediante le (3), si saranno de- 

 terminate U, Z, poiché: 



2Z-t-K 



U = — log (Vi VO — 2Z + K, q, = xp\ xp 2 e**+« , g z = xp\xp v e 



Per determinare dunque U, Z , diviso il primo membro di ciascuna delle (1) 

 per gì — g 2 , si pongano in queste equazioni al posto di gì, q % , Z le loro 



(') Ricci, op. cit. ibid. Levi Civita, Mem. cit., pag. 34. 



