— 100 — 



E mediante le forinole stabilite si possono calcolare tutti i corrispondenti 

 di IP specie di (A'). 



Mediante poi la sostituzione delle variabili / ]f\p x dx x , f\/rp 2 dx 2 

 rispettivamente alle x x ,x% ds 2 è ricondotto (ove si designino pure con x y ,x% le 

 nuove variabili) alla forma di Liouville: 



dsì = (fi xp 2 — fi + dx\) . 



Siccome ipx, ip 2 sono funzioni, come s'è detto, affatto arbitrarie l'una di x x , 

 l' altra di x 2 , dalla forma data a ds\ si deduce la seguente proposizione alla 

 quale accennai nel § I della Nota precedente : 



« Due sistemi d' equazioni dinamiche a due variabili, tali che i qua- 

 drati degli elementi lineari ds, dSì ad essi rispettivamente corrispondenti 

 possano entrambi con un cambiamento di variabili ricondursi alla forma di 

 Liouville sì da divenire rispettivamente: 



ds 2 = (fi — fi)(dxì + dxl) , ds\ = (<pi — (f 2 ) (dxì + dxl) , ove fi, fi, g>, , y> 2 



designino quattro funzioni affatto arbitrarie rispettivamente della sola x Y , 

 della sola x 2 , della sola ~Xi e della sola x 2 , sono corrispondenti di II a specie, 

 quando si scelgano opportunamente le forze relative all'uno di essi. Di più 

 le formole testé stabilite permettono di individuare senz'altro la trasforma- 

 zione che da ds 2 fa passare a ds\ » . 



(Naturalmente una volta fissate le forze relative all'uno dei due si- 

 stemi, sono individuate (v. Levi Civita, Meni, cit.) anche quelle che devono 

 competere all'altro). 



2. Ripresi ora in esame i due sistemi (A') (k\) corrispondenti di IP specie, 

 passiamo a dare la dimostrazione del teorema del sig. Painlevè, relativa- 

 mente ad essi. Perciò consideriamo un sistema (A") che sia corrispondente 

 di P specie di (A). La forma differenziale quadratica ds 2 2 che compete ad 

 (A") dovrà allora, in base al risultato del prof. Levi Civita (Mem. cit.), es- 

 sere riducibile all' espressione : 



ds\ = ^ 2 J dxl ~J~ ~ f2 1 dx 2 . 



I 1/2 / 2 / 1 



Dicansi Y,, Y 2 le forze relative ad (A"). Sarà allora (v. Levi Civita, 

 Mem. cit., pag. 15): 



Vale a dire: le forze %, Y 2 che competono ad (A") ammettono un 



