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potenziale W che è = \ e 17 - , a meno d' una costante arbitraria k. Dalla (4) 



W I k — - x bA=?tlIl 

 vy -f ft 2 (A -A) Vi V. 



Quindi : 



(W + k) ds\ = %\ f% 7? t l f l dx\ + ^f'Tl'f 1 dx\ 



Lo stesso mutamento di variabili che ridusse cfc 2 alla forma di Liou- 

 ville, riconduce (W + k) ds 2 2 alla forma: 



(5) m^fiu 1+ 2^^aa 



Da ciò si vede come (W + k) ds\ , ds{ siano suscettibili d' assumere 

 quella forma che permette d'affermare che il sistema dinamico a cui com- 

 pete la forma differenziale quadratica (W -\- k) ds\ e la funzione potenziale 



=r- . — - è corrispondente di l a specie di (A'). 



W -j— K 



Ora A, A" sono corrispondenti di I a specie, A", A' sono corrispondenti 

 di IP specie: e così il teorema del sig. Painlevè resta dimostrato per 

 tutti i casi. 



3. Dal teorema stabilito nel n. 1 della presente Nota deduciamo facilmente 

 come si possa, scegliendo opportunamente le forze X! , X 2 relative ad (A), 

 fare in modo che esso abbia fra i suoi corrispondenti di IP specie, i quali rien- 

 trano nel tipo (A') sistemi riducibili a sistemi le cui traiettorie siano linee 

 piane. Infatti posto (il che è lecito perchè r/> v ; t/> 2 sono affatto arbitrarie): 



f 1 =— , ìp 2 = — ì Cj . C 2 



designando due costanti arbitrarie, diverrà la (5): 



e questa forma differenziale si riduce con un ovvio mutamento di variabili a : 

 dsl = K (doc\ -f» dàl) (K, costante arbitraria). 



forinola questa che esprime la proprietà di (A') d' essere riducibile ad avere 



