— 187 — 



Deriviamo le (3) rapporto a Xi , x 2 , x 3 rispettivamente e sommiamo ; verrà 

 -aCAX.) D(AX 8 ) |."MAX 3 ) = Q 



~òX\ ~òX 2 ~iX 3 



che si può scrivere 



Questa equazione rende ragione del fatto geometricamente evidente che 

 una congruenza rettilinea non può essere normale ad una superficie senza 

 esserlo a tutta la famiglia delle superficie parallele. Da essa infatti risulta 

 che, se A si annulla in un punto, rimane eguale a zero lungo tutto il raggio 

 passante per quel punto. 



Ora, quando una superficie incontra normalmente i raggi di una con- 

 gruenza, dev'essere sopra di essa A = 0, e quindi, per l'osservazione fatta, 

 A identicamente nullo. 



Le (3) ci dicono allora che Xi , X 2 , X 3 sono le derivate di una stessa 

 funzione. 



Si può aggiungere che, quando questo ha luogo, la congruenza (2) è 

 necessariamente rettilinea. Di quà una nota proposizione di Hamilton ( 2 ) : 



Condizione necessaria e sufficiente affinchè una congruenza (2) sia retti- 

 linea e normale è che l'espressione Xj dx x -j- X 2 dx 2 -j- X 3 dx 3 costituisca 

 un differenziale esatto. 



2. Consideriamo la superficie o di separazione di due mezzi ottici. 

 Se — Xi , — X 2 , — X 3 rappresentano i coseni direttori (nel verso di pro- 

 pagazione della luce) di un raggio incidente in e , Y x , Y 2 , Y 3 quelli del 

 corrispondente raggio rifratto (sempre nel verso di propagazione), n Y indice 

 relativo dei due mezzi considerati, la normale alla superficie e ha i suoi 

 coseni proporzionali a Xi -j- > X 2 -f- nY 2 , X 3 -f- nY z . Questo equivale a 

 dire che, per ogni spostamento dx\ , dx 2 , dx 3 appartenente a <r, dev'essere 



3 3 



(5 V Xi dxi -f n y Yi dxi = 0 . 



i' i 1 



Ciò posto, date due congruenze rettilinee [C] e [C] di coseni direttori 

 Xj e Yi rispettivamente, si potrà risguardare [C r ] proveniente da [C] per 

 rifrazione d' indice n, purché esista una superfìcie e, su cui vale la (5). 



3 



Se le due congruenze [C] e [C'3 sono entrambe normali, Y Xidxi, 



(!) Le formole di Ricci conducono più generalmente ad una relazione di questo tipo 

 per le congruenze geodetiche di uno spazio qualunque. Veggasi la recente Nota del signor 

 A. Dall'Acqua: Ricerche sulle congruenze di curve in una varietà qualunque a tre di- 

 mensioni, Atti del E. Istituto Veneto, 1900. 



( 2 ) Darboux, Legons sur la théorie générale des surfaces, T. II, pag. 275. 



