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S~ Yi dxi sono differenziali di due certe funzioni U ed U' e tutte le superficie 

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della famiglia 



U -f nU = cost 



soddisfanno alla voluta condizione. 



Ne viene che la superficie di separazione dei due mezzi si può imma- 

 ginare condotta per un punto arbitrano dello spazio. 



Affinchè vi sia corrispondenza biunivoca fra i raggi di [C] e quelli 

 di [C], bisogna ancora accertarsi che la superficie in questione non consti 

 di raggi di una delle due congruenze, non si abbia cioè nè 



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Xi— (U + hU') = 0, nè y _ T i -^-(U + ?eU') = 0. 



Dovremo perciò escludere quella o quelle superficie Ù -f- nV = cost, per 

 cui eventualmente si avesse — 1 -f- n cos co = 0 , — cos co -{- n = 0 ; (desi- 

 gnando co l'angolo che formano tra loro in un punto generico le direzioni di 

 propagazione sui raggi delle due congruenze). 



Va notato dal punto di vista ottico che queste due direzioni devono 

 formare colla normale alla superficie angoli della stessa specie (acuti entrambi 

 od ottusi, secondo la direzione, che si assume come positiva sopra la normale). 

 Questo esige che i due binomi — 1 -j- n cos co , — cos co -f- n abbiano mede- 

 simo segno, cioè che co non superi il complemento dell'angolo limite. 



Supposto che le due congruenze [C] e [C] abbiano un raggio g a co- 

 mune (e opposta direzione positiva sopra di esso), l'accennata restrizione è 

 certamente verificata nell'intorno di g , perchè, sopra g , cos co = 1 e i due 

 binomi — 1 -j- n cos co , — cos co -j- n riescono eguali. 



Nel caso della riflessione, ciò ha luogo qualunque sia w, e rimane 

 eccettuato, per quanto si disse, solo il valore co — n . 



Prescindendo dalla ipotesi che le due congruenze [C] e [C] sieno 

 normali, il primo membro della (5) non è più in generale un differenziale 

 esatto. Esisterà ciò nulla meno una famiglia di superficie o\ purché le 

 Xi -J- n Yi sieno proporzionali alle derivate di una medesima funzione. Questo 

 porta alla condizione 



(Y I ;;Yì j-»(X, + »Y.) + 



(Xi+wYi) ( ~ ix % r 



(X . + nYì) j H^zMla) _ U^±nlA J + 

 V 1 ( ~ÒXì 1)X 3 ) 



ne 4- r>Y \ S lill±^±> ì + nY.) ) 



