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Reciprocamente se si possono determinare sei funzioni x% , y% di due 

 parametri u,v, per cui sieno verificate le (7), (8) e non si annullino nè l'uno, 

 nè l'altro dei determinanti 



J - 



A' 



X, 



x 2 



■tr 







'ÌXz 







tic 





~Ì?Xì 



lix 3 







"ÒV 





T 2 



Y 3 













1u 







^3 



1v 



~ = ÒV 





si ha mezzo di passare con una duplice rifrazione da [C] a [C]. 



In primo luogo, l'insieme dei punti Xi (u , v) costituisce realmente una 

 superficie (non una curva), perchè non tutti i minori della matrice 



~ì>%\ ~òXo ~òX 2 



~òXi 

 ~1)V 



~ÒX% 



1X3 



possono insieme annullarsi, in causa di J % 0 . Per la 



stessa ragione, la superficie <r taglia effettivamente la congruenza [C] . Ana- 

 logamente per g' e [C r ]. 



Sulle due superfìcie rimangono in tal modo accoppiati i punti P {x l , 

 x % , x 3 ) e P' (y, , 2/2 , 2/3) , cui competono eguali valori dei parametri u , v . 



Scelto un generico raggio di [C] , sia appunto P la sua intersezione 

 con <r; in virtù della (7), sarà PP' il raggio rifratto; questo si rifrange a 

 sua volta, attraversando a' e, per la (8), la sua continuazione è data dal 

 raggio di [C], che passa per P'. E ciò prova l'asserto. 



* Si tratta dunque di stabilire che si può soddisfare al sistema simultaneo 

 (7), (8) con funzioni di due parametri u,v, per cui non si annullano J nè J r . 



Il sistema (7), (8) equivale alle seguenti quattro equazioni a derivate 

 parziali 



(9) 



