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Scelti con questa precauzione i valori iniziali, rimangono pel tramite 

 delle (9'), determinate le sei funzioni 



integrali delle (9), e da esse le due superficie rifrangenti e e e', in modo 

 che, per v = v 0 , si corrispondono appunto i due assegnati sistemi co 1 di 

 raggi. 



4. Le due congruenze [C] e [C'J abbiano un raggio g a comune e preci- 

 samente coincidano, sopra g, — X! , — X 2 , — X 3 con Y x , Y 2 , Y 3 ordinatamente. 



I valori delle anormalità, relativi ai punti di g sieno diversi da zero. 



Voglio mostrare che, almeno in un intorno abbastanza piccolo di g, sono 

 effettivamente soddisfatte tutte le restrizioni di disuguaglianza, che assicurano 

 la esistenza del sistema integrale e la biunivocità della corrispondenza fra 

 i raggi delle due congruenze. In altri termini, date ad arbitrio una rigata y 

 di [CJ e una y di [C'J J aventi un raggio g a comune, e tra le loro gene- 

 ratrici rettilìnee una corrispondenza, di cui sia g raggio unito, esistono 

 (e sono univocamente individuate dagli indici di rifrazione e dalla condizione 

 di passare per due dati punti P 0 , Pó di g) due superficie rifrangenti e e a', 

 atte a trasformare [CJ in [C'J (più esattamente un pennello abbastanza 

 piccolo di raggi di [C] , intorno a g , in analogo pennello di [C'J ). 



Prendiamo per semplicità la retta g come asse x z , e, dati arbitrariamente 

 sopra di essa due punti non coincidenti P 0 , Pó , assumiamone le coordinate 

 come valori iniziali delle nostre funzioni sa , yi . 



Collocando l'origine delle coordinate nel punto medio del segmento 

 p 0 pj(=2^>0) e scegliendo la P 0 Pó per direzione positiva dell'asse % 3 , 

 avremo come valori iniziali 



Xi(u ,u (u) ) 



Vi (u ,/?(»)) 



(15) 



e inoltre 



YJ = 0 , 



x° 2 = o, 



Y° 2 = 0 , 



X$ = — 1, 

 Y° = l, 



(16) 



= 2/ > 0 , A 0 >0, Aó> 0 . 



Comunque si assegnino le rigate y, /, e le generatrici che debbono corrispon- 

 dersi sopra di esse, per essere g raggio unito, le rappresentazioni parametriche 



Rendiconti. 1900, Voi. IX, 1° Sem. 32 



