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Ciò posto, consideriamo il sistema (10), (11), cui si aggiungano le equa- 

 zioni ausiliarie (12), particolarizzandole per es. in 



( xj - "^"^1 ~òX\ ~òX? ~òXz , . 



\ Hi = — r~ t == 0 , 



n . j ~ìu ~òv ~òu iv 



i K 4 = ^ _ ^ 2 ^ _ / _ Q 



Tutto si riduce ormai a far vedere che le sei equazioni (10), (11), (12), 

 per u—u 0 , Xi = x\ , fi = y\ , si possono risolvere rispetto alle derivate 



— - , — — , e che i valori, che se ne traggono per queste derivate, non 



annullano J nè J'. Con ciò infatti, il sistema integrale delle (10), (11), (12), 

 il quale, per un valore qualunque v Q di v , si riduce alle funzioni (17) della 

 sola u, soddisfa a tutte le condizioni volute. 



Per la dimostrazione, notiamo in primo luogo che le equazioni (10) e 

 le nostre ausiliarie (12) pei valori (16) e (18), si riducono a 



w (£).-• 



si ha poi 



-'•-■^(^+«-*(^).^---K^).+«-*t^).- 



La identità 



Wty ó ~ ~~ r {iati !> m + *») l» , J , — 1 , ■ * , d ) 



(in cui fy designa al solito lo zero o 1' unità, secondochè gli indici ì e j 

 sono distinti o coincidenti) porge 



3 3 3 



Ixì y\ _ 1 J>r_ jWsj y\ , IV yA 



.. ~òXi~òyj\u v J r / _ 1xì ~ìyj\u v / ' r / \u v / 

 i 3 i y ì 1 



e, introducendovi i valori (16) e (18), il secondo membro diventa 

 cos *S(MWM\}_ ^Mìh\ + 



i\ h \ ~bV h) (V ~ìV 7o_ V ~òV /o , 



2/ 



che, in virtù delle ausiliarie (12'), è uguale all'unità. 



