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quale le caratteristiche si esprimono mediante serie di funzioni del tempo. 

 Pel caso di tre dimensioni, oltre questa soluzione ed oltre quella da noi 

 indicata in due Note precedenti ('), ve ne ha una terza che conduce diret- 

 tamente alla determinazione esplicita dei due integrali che, aggiunti ai tre 

 integrali primi quadratici del sig. Heath ed a quello da noi indicato nella 

 prima delle due predette Note, completano l'integrazione delle sei equa- 

 zioni differenziali. 



Questa soluzione consiste, come vedremo qui appresso, nella determina- 

 zione di una funzione caratteristica del problema, dalla quale si deducono 

 insieme coi sei integrali relativi alla velocità, gli altri sei relativi alla po- 

 sizione del corpo. 



Scriviamo le equazioni differenziali nella forma in cui le abbiamo messe 

 alla fine della seconda delle Note citate. 



Cft) 3 ) («5 =t «2) = 0 , 



A«i) (w 6 to 3 ) = 0 , 



B« 2 ) («4 — <»i) = 0 , 



I quattro integrali quadratici si possono presentare sotto la forma: 



{Ywi-rAcox) (w 4 +«i) 4- (G%+Ba> 2 ) (m 5 +«b,)+(Hc» 6 +C<»3)K+<»b) 

 -f- (F<w 4 -Ao>,) («4 -<<>i) + (Gtó 5 -Ba) 2 ) (tó 5 -« 2 )+(Ha) 6 -Ctó 3 )(ft) 6 -ft> 3 ) = 4/i , 

 Am? , B<4 . Ga>l _ 

 B — H C — F A — G 9ì 



( (Fc» 4 + A« h y + (G» 5 + B« 2 ) 2 + ( Hm 6 + C« 3 ) 2 = K? , 

 j (Feo, — Aa h ) 2 + (Go) 5 — Ba) 2 ) 2 + (Ho> 6 — 0 3 ) 2 = Ki , 



II primo integrale è quello delle forze vive, la cui somma T è = i 

 Supponiamo ora K, e K 2 entrambe diverse da zero, e poniamo: 



/ f W4 _|_ Aft)! = — K, sen f), sen y x , F&) 4 — Aw, = — K, sen 0 2 sen y 2 , 

 (4) | G<0 5 + Bo) 2 = — Ki sen 8, cos , G« 5 — Bm 2 = — K 2 sen 0 2 cos <p 2 , 

 (Hw 6 + Ca) 3 = K^ostìi , H<» 6 — Cw 3 = K 2 cos0 2 . 



Queste equazioni equivalgono alle (3), e noi sappiamo (Nota II) che tra le w 

 ed i sei parametri 0, , Vì , xp l , 0 2 , y 2 , > che determinano ad ogni istante 



(') Atti della R. Acc. delle Scienze di Torino, voi. XXXV, novembre 1899 e gen- 

 naio 1900. Avendo da citare in seguito queste Note, le indicheremo con Nota I e Nota II. 



f- (Fo) 4 zz Aw,) — (Go) 5 rz B« 2 ) (« 6 zt <» 3 ) + (Ho> 6 zh 

 0)1 4- (G« 5 zt B« 2 ) — (H« 6 zt Co) 3 ) (o) 4 zt «0 + (Fto 4 zt 



(Hft) 6 =±= C0) 3 ) — (Fw 4 Zt AwO (« 5 Zt 0) 2 ) (G« 5 =t 



