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E contiene tante costanti arbitrarie (h , g , K, e K 2 ) quante sono le varia- 

 bili (</>i , (fi , Y-'i e V'2). Si avrà dunque : 



(11) 



(12) 



rw 



W 



~7>(Ki costì,) , , ^(K,costì 2 ) . ~| 

 " d(pi + #2 J 



=0 



ri_ ^(K, costì,) , . "^(K 2 costì. 2 ) . ~~| 



#1 + ^ 



L ^ 



XK, costì,) . . ì(K 2 costì 2 ) ~| 



=tì? — J 



7)K, 

 'ì(Ki costi,) 

 -3K 2 



c/cf , -f- 



7)K, 

 7ifK 8 costì 2 ) 

 ^K 2 



]- 



essendo /i' , , Kl , K 2 quattro nuove costanti arbitrarie. 



Le equazioni (11) insieme coi quattro integrali quadratici (2) e (4) 

 completano la soluzione del problema delle velocità. Esse infatti dànno 

 e <p 2 in funzione del tempo e di sei costanti arbitrarie h , g , Ki , K 2 , ti 

 e g' . Gl'integrali (2) daranno tì, e tì 2 in funzione di <p l e y> 2 e quindi in 

 funzione del tempo e delle stesse sei costanti. Finalmente le (4) daranno le 

 sei co in funzione del tempo e delle sei costanti arbitrarie. 



Per avere la funzione V, 0 per eseguire le integrazioni indicate in (11) 

 e (12), bisogna esprimere, per mezzo delle (2), K, cos tì, e K 2 cos tì 2 in fun- 

 zione di (f i e di qp 2 . Ora queste equazioni, eliminando tì 2 , dànno una risul- 

 tante di ottavo grado rispetto a sen tì, , ma che è di quarto grado rispetto 

 a sen 2 tì, . Quindi cos tì, e cos tì 2 possono ottenersi esplicitamente in funzione 

 di (fx e (f 2 per mezzo di radicali di secondo e terzo grado. 



Finalmente le equazioni (12) dànno e ip 2 di cui le co non sono fun- 

 zioni, ma che servono insieme alle altre quattro variabili </>, , (p 2 , tì, e tì 2 

 alla risoluzione del problema di posizione, come si è veduto nella Nota IL 

 Le (12) corrispondono agi' integrali (16) di tale Nota. 



La soluzione del problema di posizione non contiene che 8 costanti ar- 

 bitrarie, ma la soluzione è generale, poiché quattro costanti sono nulle per 

 la posizione degli assi, ciò che non implica alcuna restrizione nelle condi- 

 zioni iniziali del movimento. 



La soluzione data non regge quando una delle K, 0 entrambe le K 

 siano nulle. Il primo caso, come si è veduto (Nota II), non può verificarsi 

 che nello spazio ellittico, ed il secondo non può verificarsi che nello spazio 

 iperbolico. 



Nel primo caso, le sei equazioni (1) si possono ridurre a tre della stessa 

 forma di quelle relative alla rotazione di un corpo intorno ad un punto, 



Bendiconti. 1900, Voi. IX, 1° Sem. 33 



