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2. Diciamo S l'area data, s il suo contorno, x,y le coordinate a cui 

 riferiamo i punti del suo piano, Xi,y x le coordinate nel piano del cerchio 

 rappresentativo S x (il cui raggio supporremo uguale ad 1), aventi per origine 

 il centro del cerchio stesso. 



La rappresentazione conforme di Si sopra S si faccia mediante le 

 formule x = F (x x , y x ) , y — F' {x ì , y x ) , nelle quali i secondi membri li sup- 

 poniamo polinomi di grado m. Il determinante funzionale j) = AS^ll 



d(x x ,yi) 



sia differente da 0 anche sul contorno dell'area S. 



Indichiamo con g la funzione definita nei punti di s , a cui deve diventare 



uguale la V. Se g ammette la derivata prima ^ , noi potremo, conoscendo 



ds 



^ v a u ■ , ! 1Y 



— , ed anche, per ipotesi, — , calcolare, in ogni punto di s , — e — 



^ ^» 1x 1y ' 



Sia pertanto 



Da; ^ ' 1y ~ g ' 



Determiniamo le tre funzioni u,v <iv , armoniche nell'area S , per cui 

 si ha al contorno 



u = g' , v = g" ,w = g — xg' — y 



e quindi: ^ -f- yvcr{- w = V. Vogliamo dimostrare che la funzione V può 

 rappresentarsi in tutta l'area S colla formula 



(1) "V == xu -\- yv -\- iv -\-F , 



ove P è un polinomio di grado 2m nelle variabili x x ,y x . 



Nel corso della dimostrazione ci occorrerà di dover considerare le deri- 

 vate delle funzioni armoniche u ,v ,w , secondo la tangente e la normale 

 interna al contorno s. Supponendo che le tre funzioni g,g r ,g" , ivi definite, 

 e note per i dati del problema, ammettano ovunque la derivata prima finita 

 e continua, e la derivata seconda determinata e finita, si riconoscerà facil- 

 mente che le derivate normali delle funzioni u,v,iv, esistono in ogni punto del 

 contorno, e sono, al pari delle derivate tangenziali, finite e continue. 



Premesso questo, supponiamo di aver già calcolate le tre funzioni armo- 

 niche u,v,w, e proponiamoci di determinare la funzione P. 



3. Dalla formula (1) vediamo che la funzione P deve essere bi-armonica 

 in S, poiché tali sono le funzioni V, ed xu + yv -f- tv ; deve poi annullarsi 

 al contorno e verificare l'equazione: 



^ P ^ V ( \ , \ 



In 



DV / ~òx . 1y\ /' lu , 1v , lw y 



= ~ — \ u ~ -\-v— I — \ >v — + y — -4 



\ In m) \ In 1 J in ' in 



