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DV „ DV . ,. 



Ma osserviamo che al contorno si ha : m = = — ,v=g — — ; quindi : 



ox * iy 



,/^ j_j,5 = — — + — Ì = — . Dovrà essere per conseguenza: 



D« ^ D» ix in 1y In in 



in" \ m W 



e passando da S ad Si : 



1? I 1u , iv , Dw\ 



ove », rappresenta la normale interna alla circonferenza Si del cerchio S, . 

 Consideriamo ora la serie di funzioni armoniche: 



1 , r sen (3, r cos 0 ,r 2 sen 20 , r 2 cos 26 , i Q _ ai ,, J/i. 



( ° *i ' 



che chiameremo, per brevità, / n , h , P„ 3 , U , Dovrà aversi, per 



tutti i valori di e , da 1 a co : 



(3) I h -z— dsi = ~K t , 



1? 



ini 

 ove 



f , (À 1u , ^ , Dw \ j„ . 

 i 4 ' 1 J S| ' \ D'^i D%/ 



e questa condizione è equivalente a quella espressa dalla formula (2). 



Ora noi. dimostreremo che per i > 2m tutte le costanti K; si riducono 

 a zero; e da ciò appunto risulterà che esiste, in generale, un polinomio 

 P (», , 'yO di grado 2m , il quale soddisfa alle condizioni volute. 



k tal fine, trasformiamo l'espressione (4) della costante K, . Sul contorno 



D dg 

 di S si ha: xu + yv-\-w = g; quindi: — {xu + ?/y + w) = ^ , ossia: 



Dm 



Ds ^ J is ^ is ds V 3* W 



Ma „** 4. «^-21^ + ^^ = ^ = ^. Sarà dunque: 



Ds ? Ds D.2 1 Ds D|/ Ds Ds Ds Ds 



22 + — = 0; e passando da S ad S, : 



Ds Ds 



Dm . Dy , Dzy , _ n 

 "is^lsl + li^- 0 - 



