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Ciò posto, consideriamo la serie di funzioni armoniche, coniugate delle l : 



0 , r cos 6 , — r sen 6 , r 2 cos 20 , — r 2 sen 20 , , 



che chiameremo : fa f*3 ■ !M , • • • • Sarà, per qualunque valore di i : 



/ ~òu . ~òv , ~ì>w\ 1 



Onde 1' equazione (4) , togliendo dal suo secondo membro questa quantità 

 identicamente nulla, potrà scriversi: 



< 5) Ki = -X * {** il + * ìv) *» -{ y { h ìk + * Sh 1 - 



f / , ~òw , ~òw\ j 



Dei tre integrali che figurano in questa equazione, l'ultimo è nullo per 

 qualunque valore di i. Si ha infatti: j /<j — —dsi= — I ~wdsi. 



Ma le funzioni u.s , Xi sono legate dalle relazioni: == — r— -: onde al 



■ 6 DO Dr 



contorno sarà : = . E per conseguenza : 



f (^ + ttj t/Si = f f ^ — -— w \ dsi = 0 . 

 Consideriamo poi l'integrale : I = J « [ A ; -f- $ f \ ds x . La quan- 



Jsi \ Hfli ~ÒSi / 



tità entro parentesi, finita e continua in ogni punto di Si per quanto è 

 detto ai §§ 1 e 2, rappresenta il valore che assume al contorno la fun- 



zione (f = — /j r f- ^ — — , la quale e armonica, come si può verificare 



osservando che sussistono le relazioni: 



~ò k _ 2Eì 3lh. - . . 

 ~òx ~òy ' 1y ~òx ' 



Da; V ~ir)~~ ~èy \ ~ò0 ) ' \ 7)r / — 7>« \7>0 / ' 



Supponiamo di sviluppare questa funzione in una serie della forma: 

 X" r * («" sen *>0 -4- ^ cos vO) (a„ , /J v = cost.') : ciò è sempre possibile, e nel 

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