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nostro caso la serie converge anche al contorno. Ricordando la natura delle 

 funzioni h , m , si vedrà che quando 1' indice i è uguale a 2m o maggiore, 



esse contengono il fattore r m ; inoltre r ^ e ^ si annullano per r = 0 . 

 Dunque g>(r,0), se i>2m, contiene il fattore r m *K Invece il polinomio 

 armonico di grado m x (x, , y x ), posto sotto la forma ]F N r'> (a, sen vB -f- fc, cos v0) 

 non contiene termini in cui l'esponente di r sia superiore ad m. Per con- 

 seguenza in (f(r,6) ed a?(r,fl) non vi sono termini pei quali i coefficienti 

 di 6 siano uguali. Onde sarà, in virtù di formule ben note: 



x (i , e) cp (1 , e) de = 0 . 



0 



Lo stesso dicasi dell'integrale £ y U t ^- + ^ , giacché y è, 



al pari di un polinomio armonico di grado m. Resta così provato che 

 si ha: 



K ; = 0 , per i> 2m , 



come volevamo dimostrare. 



4. Riprendiamo ora 1' equazione (3), che potremo anche scrivere, do- 

 vendo P annullarsi al contorno: 



e vediamo se si può fare in modo che essa risulti verificata, per tutti i 



valori di i, ponendo P = xp +q , ove p (x 1 , y,) , q{x x , yO siano polinomi 

 armonici, il primo dei quali abbia la forma: 



(7) p = Cl h + C % K + •- + <?2m-i ^-2m+i , , :■■ , C 2m _i = COSt. 1 ). 



La funzione P così espressa resulterà bi-armonica in S. Al contorno dovremo 



poi avere : xp + q = 0 • 



Sostituendo nell'equazione (6) a P , xp + ? , ed osservando che l' inte- 

 grale [ (x,^- + W (analogo al 3° integrale della formula (5)) 

 è nullo per qualunque valore di t, otterremo: 



<*> X* ( x * £ + * * +X>(^+ fe - Ki • 



I due integrali del 1° membro di questa equazione sono nulli per i>2m, 



