— 303 — 



essendo m il grado dei polinomi armonici x e p (cfr. coli' integrale I del § 3). 

 Ma per tali valori di i è pure nulla la quantità K ( . Dunque per i ■> 2m 

 l'equazione (8) resulterà verificata. 



Vediamo ora se si possono determinare le 2m — 1 costanti c x , c x .... c 2m -i , 

 in modo che essa sia verificata per £=1,2, .... 2m — 1. 



Se a p sostituiamo la sua espressione, data dalla formula (7), e po- 

 niamo per brevità: 



w =i; - ^ + « ir) *■ +| ^ (* n * • 



l'equazione (8) diventa: 



+ A ii2 e 2 -f- .... -f- A. i ,- lm - 1 c< lm -i = Ki , («'=1,2, .... 2to — 1) . 



La determinazione delle costanti c x , c 2 .... c 2m -i sarà certamente pos- 

 sibile, quando il determinante A, d'ordine 2m — 1, formato colle A i)7ì sia 

 differente da 0 . 



Poniamo x — x y -f- «X (xi , j/i) , ove X rappresenti un polinomio armo- 

 nico di grado m, ed a una costante: e dimostriamo che, per un dato poli- 

 nomio X , vi sono al più 2m — 1 valori reali di a che annullano A. 



Le A;,tj contengono a linearmente; il determinante A, d'ordine 2m — 1 , 

 è quindi un polinomio di grado 2m — 1 in a. Basterà dunque provare che 

 in A è sempre differente da 0 il termine A 0 indipendente da x , vale a dire 

 il determinante analogo ad A, formato, anziché colle A,- )ft , colle nuove co- 

 stanti A° iìh , che si ottengono dalle prime facendo in esse « = 0, ossia 

 x = Xi = r cos 6. La loro espressione, ricavata dalla formula (9), sarà : 



kln =jll 8 (- ^ + ( a £ ^)d_6 - |f, 2 (A, cos 6 + ^ sen 6)^d6 . 



Osservando che si ha in generale : X 2n = r n sen nd , X 2n+1 = r n cos nd , 

 fi Zn = r n cos nd , fi 2n+1 = — r n sen nd , sarà facile eseguire il calcolo della 

 A° fe . Il resultato a cui si perviene è il seguente: 



per A>/Ì:A llh =0; A M = — 2tt, A 2 , 2 =A 3l3 = • • ^= A !W|2 „ = - tt. 



Nel determinante A restano dunque i soli elementi in diagonale, che sono 

 tutti differenti da 0: il determinante stesso sarà perciò differente da 0. 



Resta così provato che il determinante A è generalmente differente da 0, 

 e che, per conseguenza, la determinazione delle costanti c x , e z , . . . c 2m -i è 

 generalmente possibile. 



Calcolate queste costanti, il problema è ridotto a trovare la funzione q , 

 armonica in S, che al contorno diventa uguale a — xp . Essa resulterà un 



