Perchè la soluzione stessa sia continua è necessario aggiungere qualche 

 condizione, cioè o la convergenza uniforme o la continuità dell' integrale 



\K(x , £)| d§, o la continuità dell' integrale K(x , £) f{£) d£ dove f(§) 



oc J x 



è una funzione arbitraria, però finita e continua. 



Un esempio di una soluzione non continua dell'equazione (1) sotto le 

 ipotesi del teorema si dà facilmente. Nella figura, sia £ = tp(x) una fun- 

 zione continua 0^x^x 0 , tale che si abbia ># 0 quando x è mi- 



oc 



X 



noredi^o, e lim f(x) = oo quando ce s'avvicina a x 0 . Per g>(x) e K(x , £) 

 prendiamo le due funzioni continue: 



K(aj , I) 



U (£ - V0*0) e~ ( ^ to> quando si ha j ^ < ^ v 



(0 



nel campo rimanente. 



Si avrà 



|K(cc , £)| cfé = f per a: O 0 



a; 



J~» oc 

 |K(£c ,?)|fl£ = 0 per x^# 0 , 



e quindi si avrà per l — 1 



«(#<> + 0) = A 

 it{x 0 — 0) = 2A . 



Senza difficoltà può costruirsi un nucleo continuo in modo che si abbia una 

 soluzione discontinua in ogni porzione, per quanto piccola, del tratto x~a. 



