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Scriveremo le espressioni precedenti coi simboli (m , n) hk = (n , m) Kh , 

 {n , p) hk = (p , n) hk , (p , = (w , p) kk ... e analogamente scriveremo 

 (m , ^ , p) hn = ((m , rc) ,p) hk e così di seguito. Porremo poi 



{m , m) Aft = (m 2 ) hh 



ed in generale, se a è il numero delle m contenute nella parentesi, scri- 

 veremo 



(m , m \ ... m) hk = {m a ) hk 



in modo che il significato della espressione 



{m* ,n$ ,pl ,q 8 ,...) hk , 



in cui a , fi ,y , à ... sono numeri interi, resta perfettamente definito. 

 3. Ciò premesso, siano 



2 % 2$ 2^ 2q ... <2 a ,[3, T ,s ... z a u$ vi w 8 ... 

 2 a 2$ 2 1 2$ ... £ a ,(3, T ,3 ... z a vP Vi w 8 ... 



delle funzioni intere qualsiasi delle variabili complesse z , u , v , w ... con 

 ^o,o,o... = ^o,o,o... = 0. Poniamo 



2 a 2$ 2^ JSg ... <% tt ,|3, T ,5,.. g a zc 5 ... 

 1 + 2 a 2$ 2^ 2 5 ... J B) p >7 ,8.„ s a W S ... = 



= 2 a 2$ 2^ 2$ ... £ a ,P, T ,5... 2* ift Vi W 8 ... 



Evidentemente, mentre gli sviluppi che compariscono al numeratore ed 

 al denominatore sono validi qualunque siano i valori di g,u,v,w..., l'ul- 

 timo sviluppo varrà, in generale, soltanto finché i moduli di queste variabili 

 saranno inferiori a dati limiti. 



Costruiamo poi le funzioni 



(1 ) <M* ,u,v,w ...) — 2*2$ 2 r 2 & ... « a ,p, T ,8...(w a n$pl q 8 ...) hk z* ift vi w 8 ... 



(2) «P M (i , u , v , w ...) = 2* 2 ?J 2^ 2 S ... éa,p, T ,s...(w a n$ pi q 8 ...) hk z* é vi w 8 ... 



(3) F hk (z ,u,v,w ...) = 2* 2$ 2^ 2 5 ... c a ,p, T , 3 ...(m a rfipt q 8 ...) hn z a u?> vi w 8 ... 



Avremo i teoremi seguenti : 



1°) Le funzioni 4> hk (z ,u,v,w ...) , «P ftS (^ ,u,v,w ...) sono funzioni 

 intere delle variabili complesse z ,u , v , w ... 



2°) La funzione Y hk (z , u , v , w ...) è il rapporto di due funzioni 

 intere delle variabili z , u , v , w ... 



3°) <I>hk , ^hk , Ftó sono permutabili colle m hk , n hk ,p hk , q hk ... 



