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Per dimostrare la prima proposizione basta osservare che, scelti arbi- 

 trariamente i numeri positivi R, , R 2 , R 3 , R 4 ... , potremo trovare un numero 

 positivo M tale che 



I | ^ M 



|aa,P,T ' 8 - |< B 1 «B,PB,7B4 8 ... ' 



Siano ora mi , m% , m 3 , m 4 , ... respettivamente i limiti superiori dei valori 

 assoluti delle 



gm hk , gn m , gp hk , gq hk ... (h , k = 1 , 2 ... g) 



sarà 



l«a,?, T ,S...(w a W^T £ 6 ...) Kk \ < 



/B.y/l.wi.y/B, 



Xw,/ \w 2 / \m 3 J \m 4 



quindi la serie (1) è convergente finché 



I «I ^ 1 1 — , i ^ R3 1 1 - R4 



m x w 2 ra 3 1 1 m 4 



e, poiché R 2 , R 2 , R 3 , R 4 , ... possono scegliersi tanto grandi quanto si vuole, 

 così la serie (1) sarà una funzione intera. Nello stesso modo si dimostra 

 che la serie (2) è pure intera. 



Per dimostrare la seconda proposizione si consideri il sistema di equa- 

 zioni algebriche lineari 



(A) X ftft + y^ w X« = d> hft . (h,È = l ,2,...<7) 



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Esso evidentemente è soddisfatto se alle incognite X hk noi sostituiamo 

 le Ma se risolviamo il sistema algebrico precedente (A) noi troviamo 

 che le X ftft si esprimono come rapporti di polinomi razionali e interi nelle 

 Q>hk e quindi come rapporti di funzioni intere nelle 8 ,u, v,w,... Il deno- 

 minatore comune di questi rapporti non è identicamente nullo, giacché esso 

 si riduce eguale all' imita per g = u = v — w = - = Q. La 2 a proposi- 

 zione è dunque dimostrata. 



La terza proposizione resulta immediatamente osservando che le 

 *Phn , Pftfj sono serie i cui termini sono permutabili colle m hk ,n hk ,p hk ,q hk ,... 



4. Seguendo il concetto fondamentale che ho posto a base di tutti gli 

 studi sulle equazioni integrali ed integro-differenziali. si ha che facendo 

 crescere indefinitamente il numero g, mentre m x ,m 2 , m z , m 4 ... si manten- 

 gono finiti, si passa facilmente dalle quantità m hk , n hk ,p hk , q hk , ... alle fun- 

 zioni finite e continue permutabili di seconda specie (') S,(<r , y) , S 2 (x , y) , 

 S 3 (x , y) , S 4 (x , y) , ... tali cioè che 



S"iS*(# , y) = Sn'Èiix , y) = f ^ , f) S ft (f , y) # = 



= f l S h (x , £) Si(| , y) rf? 



(') Questioni generali sulle equazioni integrali ed integro-differenziali, preceden- 

 temente citata, § 8. 



