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e nel caso limite i teoremi del § precedente conducono alle seguenti pro- 

 posizioni : 



1°) Le funzioni 



a>(*, u\v, w , ... [x, y) = X^p 2| 2 Ò ... a*,t,y,L. Sj sj g£ ... <r a v~i w 8 ... 



«P(j , u , » , 10 , ... | x , y) — 2 a 2$ 4 X: ... J«,p,y,a... §J g£ ... ^ a ^ irf 



scmo funzioni intere delle variabili complesse z , u , y , w ... 

 2°) Za funzione 



F(#, « , », w ,...\x,y) = 2« 2$ 2 y ks ... <?«,p,*,L S* §J S° ... * a «P yT ^ 5 ... 



è ?7 rapporto di due funzioni intere di z ,u ,v , w-, ... 

 3°) Ze 



<t>{z , u. v , w , ... I # , y) , , u , y , ?» , ... | x , y) , F(* , w , v , w , ... | x , iy) , 



considerate come funzioni di x , y , sowo funzioni permutabili di 2 a specie 

 colle Si(a: , y) , S 2 (cc , y)' , S 3 (sc , , S 4 (# , z/) ... 



Finalmente la funzione F(# ',u , v ,w,... \ x , y) potrà ottenersi risol- 

 vendo l'equazione integrale 



F(z , u , v , w ... | # , y) -f- 



(A'ì + f ,'« , y , te , ... | ■ 5r|.f) F(* , u , y , w | ? , y) tf£ = 

 = <!>(,? ,u.v,ic,...\x,y). ■ 



5. Supponiamo ora di avere un sistema di equazioni algebriche o diffe- 

 renziali di un ordine qualsiasi 



g s yz , «j , z 2 , ... , u , u x , u 2 , ... , v , yi , y 2 , ... , w , w { , w 8 -, ... , , 



-^X+X t -<-...+u.-H(i.i-.. gr ft 



' ' "' Dz K "j^i ... ìm^ ... 



(s = l ,2,... r), 



ove £ , , s 2 , ... , u , , m 2 , ... figurano come variabili indipendenti di de- 

 rivazione, v , Vi , y 2 w , io, , «o 2 s •■• come parametri eFi , <F 2 , ... come fun- 

 zioni incognite e supponiamo, per semplicità, che i primi membri siano poli- 

 nomi razionali e interi delle diverse quantità che vi entrano. 



Ammettiamo che esistano delle soluzioni W x , <F 2 , ... che si annullino 

 nel punto g = u = v = w = -- - ~ 0 , regolari .nell' intorno in questo punto 

 e che siano esprimibili mediante rapporti di funzioni intere delle variabili 

 indipendenti z,u,... e dei parametri v, w,..., mentre le altre variabili e 



