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 Se ora noi costruiamo le funzioni 



(p hH {z , u , v , w ,...) = 2*2p2 Y % ... a*,p,y,&... ^ p ? 5 ■••]*» z * u ^ vl w * - 

 tff m (g ,U,V,w, ...) = 2*2p2y% ... *«,/»,y,8... tt S fi q° ...] ftR £ a ^ trt te 8 - 

 ,« , V ,W ,...) = 2*2p2y% ... Ca,iS, y ,ò... [w a »P ? 8 ...] Afe * a M P yT ^ s ... 



avremo che esse saranno funzioni intere di z ,u ,v ,w ... e saranno per- 

 mutabili, nel senso ora considerato, con m hli , n hh , p hk , qhh ••• 



Che e t//hft siano funzioni intere è ovvio. Che lo sia anche f m si 

 dimostra osservando che le equazioni 



(B) X h h + T l Vhl Xlh = <Phh 



sono soddisfatte prendendo x h1l == e che risolvendo le (B) rispetto alle 

 x h K si esprimono queste quantità mediante polinomi razionali ed interi nelle 

 <Phh e iphit • 



8. Nel caso adesso contemplato, con un passaggio al limite analogo a 

 quello a cui abbiamo accennato nel § 4, si passa dalle quantità m h n , n m , 

 Phk > qhh , — alle funzioni finite e continue permutabili di l a specie (') 

 Si (x , y) , s 2 (x , y) , s 3 {x , y) , s 4 {x , y) , ... , cioè tali che 



{ V Si{x , ì) s h {$ , y) dì = ( V s h (x , £) Si(£ ,y)d'§, 



e la proposizione del § precedente nel caso limite diviene: 



Le funzioni 



<p(a , u , v , w , ... | x , y) = 2* 2p 2 y 2 Ò ... a a ,p, r ,s... 4 s s s l - * a u ? VY wS - 

 f(s , u , v , te , ... | a , ?/) = -a 2p 2 y 2 3 ... b a ,p,y,ò... «" s° ... £ a ttf ... 

 , « , v , m> , ... | x , — 2* 2f2y 2& ... c*,p,y,$... s" ... £ a etf w s ... 



(in cui i simboli di potenza e di moltiplicazione applicate alle s x , s t , 

 s 3 , s 4 , ... denolano operazioni di composizione di l a specie) sono funzioni 

 intere delle variabili complesse z , u > , w , ... e, considerate come fun- 

 zioni di x,y, sono funzioni permutabili di l a specie colle s^x^y), 

 Sz{x , y) , s 3 (x , y) , s 4 (# , ?/) , ... 



( l ) Questioni generali sulle equazioni integrali ed integro-iifferenziali, preceden- 

 temente citata, § 1. 



