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che sono le caratteristiche della deformazione considerate dal prof. Almansi ( 1 ). 



Le relazioni del De Saint-Venant consistono, come è noto, in un sistema 

 di equazioni alle derivate parziali, cui è necessario e sufficiente che soddisfino 

 le funzioni atte a rappresentare le caratteristiche di deformazione. La ricerca 

 delle relazioni in discorso per le deformazioni finite fu fatta dal sig. Man- 

 ville ( 2 ) e alle relazioni stesse fu poi data una forma notevolmente elegante 

 dal prof. Marcolongo ('). I metodi seguiti sono tuttavia artificiosi. Anzi non 

 vi è bisogno di escogitare procedimenti sui generis, giacché quelle equazioni 

 possono ottenersi come semplice ■ caso particolare nella teoria delle forme 

 differenziali quadratiche equivalenti. Teoria che permette pure di dare a 

 quelle equazioni una forma semplice ed elegante. 



Infatti, intendendo, per fissare le idee, che vengano assegnate le fun- 

 zioni s xx , ... , £ xy , ... , condizione necessaria e sufficiente affinchè esse siano 

 caratteristiche di deformazione è che le funzioni stesse soddisfino alle 

 equazioni che si ottengono eguagliando a zero i simboli Riemanniani re- 

 lativi alla forma (4). 



La condizione è necessaria, giacché, qualora esista una deformazione, 

 che ammetta quelle caratteristiche, esisteranno tre funzioni g> h (x,y,s), 

 9z(x , y , •*) , <p 3 {x , y , £) che, sostituite nella (1) al posto rispettivamente 

 di x Q ,y 0 ,z 0 , tradurranno la (1) nella (4); in altre parole le forme (1) e 

 (4) saranno allora equivalenti. Ma i simboli Riemanniani relativi alla (1) 

 sono ovunque nulli, giacché la (1) è una forma a coefficienti costanti; dunque 

 saranno allora ovunque nulli anche i simboli Riemanniani relativi alla (4) 

 (vedasi Bianchi, Geom. diff., voi. I, pag. 72. formula III). 



La condizione è sufficiente, giacché, qualora le , ... , s xy , ... , vengano 

 assegnate in modo che i simboli Riemanniani della (4) risultino ovunque 

 nulli, le due forme (1) e (4) saranno entrambe a curvatura nulla. E, poiché 

 due forme differenziali quadratiche aventi la medesima curvatura costante 



(') Eend. R. Acc. dei Lincei, 1° sem 1911, pag. 708. 



( 2 ) Mémoires de la Société des Sciences Phys. et Nat. de Bordeaux, 1904. 



( 3 ) Eend. del Ciré. Mat, di Palermo, 1905, tomo XIX. 



