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/?) che non contenga infinite operazioni con co 2 punti uniti ciascuna. 

 Allora è facile dimostrare che: 



La varietà V contiene un fascio (razionale o non) di superficie iper- 

 ellittiche di rango 1, e la sua irregolarità superficiale q è non minore 

 di 2. 



Per questo osserviamo in primo luogo che G considerato come varietà oo 2 

 delle sue operazioni, è una varietà iperellittica di rango 1 ; poiché la molti- 

 plicazione di tutte le operazioni di G per una determinata di esse, diciamo T, 

 dà luogo a una trasformazione di G in sè stesso, che, al variare di T 

 entro G, descrive un gruppo continuo abeliano a due parametri, assoluta- 

 mente transitivo Segue che G ammette due integrali semplici di prima 

 specie, u e v. 



Poi, se chiamiamo X un punto generico di V, e q x il luogo delle po- 

 sizioni ove esso è portato dalle varie operazioni di G, è facile accorgersi, 

 per l'ipotesi /S), chela dimensione di q x è precisamente 2 e che X è por- 

 tato in ogni punto di q x da una sola operazione di G; quindi q x è una 

 superficie iperellittica di rango 1. 



Ma allora, se fissiamo su V una curva algebrica irriducibile C, che 

 non giaccia sopra nessuna delle oo 1 superficie q, e sono Oj , 0 2 , ... , O m i 

 punti in cui essa interseca q x , le m operazioni di G che portano 0 15 0 2 ,...,O m 

 in X sono ben determinate, e le somme, u e v ( 2 ), dei valori degli inte- 

 grali u e v, che ad esse competono, sono due integrali di Picard di prima 

 specie, della varietà V; quindi, per l' irregolarità superficiale q di V, si avrà 

 appunto la diseguaglianza q>2. 



2. Se F è una qualunque superficie tracciata su V, V e v' saranno 

 su F due integrali semplici di prima specie con quattro paia di periodi 

 funzionalmente indipendenti: ma allora, per il teorema di inversione gene- 

 ralizzato, vi è su F soltanto un numero finito di punti in cui u' e v' assu- 

 mano valori prefissati, e quindi le equazioni 



u' ==h , v =k 



rappresentano sulla V, al variare delle costanti h e k, una congruenza 

 (lineare) di curve algebriche o irriducibili o spezzate in parti costituenti 

 a loro volta una nuova congruenza lineare. 



( x ) Severi. Sulle superficie algebriche ecc. (Atti del Tv. Istit, Veneto, tom. LXV1I, 

 1907-1908). 



(*) Notisi che nessuno degli integrali u' e »' può ridursi a una costante e che, per 

 conseguenza, u' e v' sono linearmente (anzi, funzionalmente) indipendenti. Per convin- 

 cersene, basta ricordare che la determinazione delle operazioni di G mediante le coppie 

 di valori (incongrue) degli integrali u e v può farsi in modo che, se a due operazioni 

 di G corrispondono le coppie (w, v,) e («, »,). al lol '° prodotto corrisponda la coppia 

 («i + ih > fi + v„j. 



