— 363 — 



Dall'osservazione richiamata nella nota a pie' di pagina è facile de- 

 durre che ogni curva di quest'ultima congruenza (quando occorra consi- 

 derarla) è portata da un'operazione di G , che non la lasci ferma, in un'altra 

 curva della congruenza stessa; dunque codeste curve sono tutte birazional- 

 mente identiche. Poi la loro varietà, potendo riferirsi biunivocamente ai 

 gruppi di un'involuzione situata sopra una superficie iperellittica di rango 1 

 (cioè sopra una delle superficie g) e possedendo due integrali semplici di 

 prima specie, è essa stessa iperellittica di rango 1; dunque: 



La varietà V contiene una congruenza lineare iperellittica di rango 1 

 dì curve irriducibili C, die sono tutte bir agonalmente identiche. 



Notisi che se n è il numero dei punti comuni a una curva C e a una 

 superficie o, esistono n operazioni di G che mutano in sè (la q, la C e) 

 questo gruppo di punti. Esse costituiscono un sottogruppo di G (d'ordine 

 finito abeliano e transitivo). 



3. Adesso supponiamo che le curve C siano ellittiche; allora, come 

 risulterà dai numeri seguenti, è facile procedere a una determinazione com- 

 pleta della varietà V. 



Infatti, se si tornano a considerare gli integrali u e v appartenenti a 

 G, e poi, fissata una curva C, si chiama w il suo integrale di prima specie, 

 si trova, con un ragionamento noto [cfr. (A), pp. 290-291], che le coordi- 

 nate (xyzt) del punto generico di V (supposto, com'è lecito, che V sia im- 

 mersa in uno spazio a quattro dimensioni) sono funzioni meromorfe sestu- 

 plamente periodiche dei parametri u,v ,w 



(1) x = 9il (wno) , #== 9t {uvu>) , z = <p z (uvw) , t = <p 4 (uvw), 



e che a uno stesso punto {xyzt) di V corrispondono n terne incongrue di 

 valori dei parametri u,v e w, deducibili da una qualunque di esse mediante 

 sostituzioni lineari a coefficienti indipendenti da x.y,z e t. 



Ciò vai quanto dire che V rappresenta un'involuzione appartenente a 

 una varietà abeliana <P di rango 1 (>), generata da un gruppo finito, H, 

 di trasformazioni birazionali di <P in sè stessa. L'ordine r di questo gruppo,' 

 ossia il grado di quella involuzione, è poi un divisore di n (<. n). 



Poiché V rappresenta un'involuzione appartenente a una varietà abe- 

 liana <2> di rango 1, l'irregolarità superficiale q (> 2) di V, non potendo 

 superare quella di <P, è <. 3 . 



(') Crediamo inutile fermarci a dichiarare il senso ovvio di questa denominazione 

 analoga a quella già introdotta per le superficie iperellittiche dai sigg. Enriques e Se- 

 veri; piuttosto, poiché ciò interessa per quel che si afferma al principio del n. 7, osser- 

 veremo che se si scrivessero effettivamente le sostituzioni lineari di cui si parla nel testo, 

 dalla loro forma si dedurrebbe immediatamente che: l'involuzione su # rappresentata 

 da V è priva di punti miti. 



