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Se q = 'ò è facile riconoscere che V è anch'essa una varietà abeliana 

 di rango 1; se q=2, a tutte le sostituzioni di H può darsi l'aspetto 



(2) «'assM + tf, , V' — V + St , w' = lw. 



Anzi, poiché in tal caso H è ciclico, nelle (2) si può immaginare che l 

 sia radice primitiva r ma dell'unità e che la (1) sia appunto l'operazione 

 generatrice di H [cfr. (A), pag. 265]. 

 Abbiamo pertanto il teorema: 



La nostra varietà V, nell'ipotesi che le C siano curve ellittiche, 

 o è una varietà abeliana di rango 1, o rappresenta un'involuzione gene- 

 rata sopra una tale varietà da un gruppo finito ciclico di trasformazioni 

 Irrazionali. 



Nel primo caso l'irregolarità superficiale q di V è uguale a 3; nel 

 secondo è uguale a 2. Quando q = S, V integrale semplice di prima specie 

 che V ammette oltre u e v deve mantenersi costante lungo ogni superficie q 

 e coincidere con un integrale di prima specie relativo al fascio delle q: 

 d'altro canto ogni integrale di prima specie di questo fascio dà luogo a un 

 integrale dello stesso tipo di V, dunque possiamo dire che nel primo caso 

 il fascio delle superficie q è di genere l, e nel secondo di genere zero. 



Anche il genere geometrico tridimensionale di V nel primo caso è 1 

 e nel secondo è zero. 



Di queste due affermazioni la prima si giustifica subito, con un notis- 

 simo ragionamento, per via trascendente; la seconda, in conformità di una 

 utile osservazione dovuta ai sigg. Bagnerà e De Franchia [(A), pag. 264], 

 può dedursi dal fatto che la (2) non è una sostituzione unimodulare. 



4. Poniamoci ora nel caso che V rappresenti un'involuzione generata 

 sopra una varietà abeliana 0> di rango 1 da un grappo ciclico (finito) H di 

 trasformazioni birazionali, costituito dalle successive potenze della (2) e sia 



(3) 



Sì, Sì, Sì, Sì 4 Sì, Sì, 

 Sì[ Sì', Sì', Sì\ Sì\ Sì'e 



sì'! fi? fi" fi" fi" fié' 



la tabella dei periodi delle funzioni abeliane che dànno le rappresentazioni 

 parametriche di V e 



Se nelle (2) u,v e w aumentano di un sistema simultaneo di pe- 

 riodi, lo stesso deve accadere di u' , v' , w' : dunque, indicando con le a tt 

 degli interi convenienti, debbono sussistere delle uguaglianze del tipo: 



(4) Sì s = f a* Sii , Sì' s = f a si Sic , XSì'i = f a si Sì'/ {s = 1 , ... 6). 



8=1 ' £=1 '=! 



