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X è radice primitiva r ma dell'unità soddisfacente a un'equazione quadratica 



a coefficienti interi. 



Ciò porta che su 1 possono esser fatte soltanto le ipotesi 



i—I , », - i, e , -* , * 2 , -* 2 V» = « 8 I 

 o anche (come si vede, mutando, in caso, l'operazione generatrice di H) 



1 = -1 ,»',£,-£. 



In corrispondenza si ha 



r = 2,4,3,6. 



5. Arrivati a questo punto un'analisi aritmetica che non presenta nes- 

 suna difficoltà, poiché del tutto analoga a un'altra già compiuta dai profes- 

 sori Bagnerà e De Franchia, porta ad una enumerazione precisa dei tipi della 

 varietà V considerata. 



Noi ci contenteremo di consegnarne qui i risultati in un quadro che 

 assegna per ogni tipo l'aspetto particolare che può darsi alla tabella dei 

 periodi e all'operazione generatrice del gruppo H , il valore r dell ordine di H 

 e il valore n del numero dei punti comuni a una superficie <? e una curva C, 

 o (estendendo una nota denominazione del prof. Enriques) del determinante 

 della varietà V. 



Nel numero seguente accenneremo poi come possa ricavarsi caso per 

 caso il valore di n dall'esame diretto della tabella dei periodi e dell'ope- 

 razione generatrice di H. 



Le prime due righe della tabella dei periodi le abbiamo sempre ridotte 



alla forma 



CO, , ft) 2 i <»3 , co 4 , 0 , 0 

 oa[ , <o' 2 f w 3 > <°'i > 0 > 0 5 



quindi per brevità nella colonna del quadro che riguarda tale tabella si 

 trova registrata soltanto la terza riga. Le prime due son sempre sottintese 

 e son sempre date dalle (6). 



Infine non occorre fermarsi a chiarire quali siano le condizioni neces- 

 sarie e sufficienti cui debbono sodisfare i periodi per l'esistenza delle rela- 

 tive funzioni abeliane e quindi delle corrispondenti varietà V: esse risultano 

 da teorie generali notissime e classiche. Osserveremo solo che le varietà V, 

 quando esistono, sono singolari, in un senso che è l'ovvia generalizzazione 

 di quello in cui tale parola è adoperata dallo Humbert nel caso delle fun- 

 zioni e delle superficie iperellittiche. 



