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Ciò porta che sulla curva C. considerata i punti richiesti sono quelli che 

 corrispondono ai valori w , — w ,w -\- ^ e — ^ + 77 del parametro w . 



Là La 



7. Come è noto [(A.), pag. 291] dei sette tipi di superficie iperellittiche 

 di genere zero due soli sono equivalenti a piani doppi: qui si può dimo- 

 strare invece che: 



Degli otto tipi di varietà V più sopra classificati nessuno è, in ge- 

 nerale, equivalente ad uno spazio doppio. 



E infatti supponiamo, se è possibile, che una di codeste varietà sia 

 equivalente ad uno spazio doppio e diciamola V. Allora V è sostegno di 

 una involuzione (razionale) di coppie di punti, che determina ima trasfor- 

 mazione birazionale di V in se stessa. 



Se x e x' sono due punti corrispondenti in codesta trasformazione e 

 u' , v' sono i valori degli integrali di prima specie di V in x', u e v i va- 

 lori degli integrali stessi in x , u' e v' si possono considerare come i valori, 

 nel posto x , di due altri integrali semplici di prima specie : quindi u e v' 

 sono combinazioni lineari di u e v. Ma allora per la trasformazione in di- 

 scorso quelle che abbiamo più sopra chiamate le linee C di V non fanno 

 ehe scambiarsi fra di loro e l' involuzione di coppie di punti su V si rispec- 

 chia in un' involuzione di coppie di curve entro la congruenza delle C ; 0, 

 in altri termini, nella supposta rappresentazione di V sopra imo spazio doppio, 

 le curve C si rappresentano a coppie sulle curve di una congruenza lineare 

 appartenente allo spazio. Ma questa congruenza, per il classico teorema di 

 Castelnuovo sulla razionalità delle involuzioni piane, è razionale, dunque 

 la congruenza iperellittica di rango 1 delle curve C sarebbe sostegno di una 

 involuzione razionale di coppie di curve. Ora i moduli di questa congruenza 

 sono affatto generali, e una superficie iperellittica di rango 1 a moduli ge- 

 nerali non contiene involuzioni razionali di coppie di punti, dunque ecc. 



8. Riassumendo i risultati ottenuti possiamo pertanto enunciare il teo- 

 rema : 



Se alla varietà V dotata del gruppo G di trasformazioni birazio- 

 nali in sè si impone la condizione che le curve C siano ellittiche, essa 

 non può essere che una varietà abeliana di rango 1 oppure una varietà 

 di uno degli otto tipi descritti al n°. 7. Di questi nessuno è equivalente 

 a uno spazio doppio e gli ultimi cinque non possono aversi se non suppo- 

 nendo che le curve C siano armoniche {tipi IV e V) 0 equianarmoniche 

 (tipi VI, VII e Vili). 



