Matematica. — Sulle condizioni sufficienti per il minimo 

 nel calcolo delle variazioni {Gli integrali sotto forma non parame- 

 dica). Nota di Eugenio Elia Levi, presentata dal Socio L. Bianchi. 



1. Nel presente assetto del calcolo delle variazioni, il concetto di campo 

 di estremali, introdotto dal Weierstrass, ha singolare importanza, come quello 

 che solo fin qui permette di dimostrare la sufficienza delle condizioni di mi- 

 nimo. Tanto che, — mentre il Weierstrass dimostrava la necessità delle con- 

 dizioni di Legendre e di Jacobi, seguendo questi suoi predecessori, mediante 

 la teoria della variazione seconda, e su quelle fondava poi la dimostrazione 

 dell'esistenza del campo, — parve allo Kneser, che, non potendosi fare a meno 

 del concetto di campo, maggiore unità per la teoria si potesse raggiungere 

 soltanto col lasciare da parte la teoria della variazione seconda, e col cer- 

 care di mostrare sìa la necessità che la sufficienza delle condizioni di mi- 

 nimo basandosi sul concetto di campo ; a ciò egli pervenne col bel teorema 

 sugli inviluppi di estremali (Enveloppensatz). 



Tale procedimento non è però scevro di inconvenienti assai gravi. In- 

 tanto da una parte per quanto riguarda la dimostrazione della necessità 

 delle condizioni di minimo, mentre la teoria della variazione seconda si 

 estende con discreta facilità ai casi più complessi, il procedimento ora ri- 

 cordato dello Kneser non risulta sempre di facile applicazione ('). D'altra 

 parte, per quanto riguarda la sufficienza delle condizioni di minimo, non 

 sempre è possibile e sempre è assai faticoso il mostrare che l'esistenza 

 del campo segue dalle condizioni di Legendre e di Jacobi; invero tale di- 

 mostrazione richiede uno studio assai accurato delle soluzioni dell'equazione 

 di Eulero: tanto che ad es. nel caso degli integrali multipli, i teoremi di 

 esistenza delle soluzioni delle equazioni ellittiche alle derivate parziali non 

 sono per ora sufficienti a stabilire tale proposizione (se pure è vero che i 

 progressi fatti recentemente in tale campo di studi possono farci sperare 

 che in tempo non lontano anche queste difficoltà possano essere superate); 

 onde la teoria dei massimi e dei minimi degli integrali multipli presenta 

 qui per ora una grave lacuna. 



Nè basta : appena lasciamo il caso del più semplice problema del cal- 

 colo delle variazioni è lo stesso concetto di campo che risulta deficiente 

 nella dimostrazione della sufficienza delle condizioni di minimo. Così nell'or- 

 dinario problema isoperimetrico già il Weierstrass, si incontrava in una 



(*) Cfr. le osservazioni del Bolza a pag. 634 delle Vorlesungen ùber Variations- 

 rechnung. Teubner (1909). 



