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tale difficoltà, e solo recentemente il Lindeberg (*) riusciva a superarla con 

 un procedimento assai elegante, ma del tutto lontano da quelli usati nel 

 resto della teoria. Similmente nei problemi con estremi variabili il campo 

 viene ad avere necessariamente punti singolari ( 2 ) ; onde convenne allo Hahn 

 completare lo studio ricorrendo alle spezzate di estremali ( 3 ). Ed infine nei 

 problemi di massimo e di minimo per gli integrali contenenti derivate di 

 ordine p _> 2 , il concetto di campo non serve cbe nell' ipotesi che le curve 

 variate restino in un intorno di ordine p — 1 della curva studiata ( 4 ), onde 

 ancora non si conoscono le condizioni sufficienti per il minimo forte. 



Mi pare quindi che possa non essere privo di qualche interesse, sia 

 per i risultati effettivi che per l'esposizione sistematica, il mostrare come, 

 lasciato da parte il concetto di campo, gli antichi metodi di trasformazione 

 di Legendre e di Jacobi possano servire a provare la sufficienza delle condi- 

 zioni del minimo forte. A tale uopo è dedicata questa Nota ed alcune altre 

 che seguiranno; l'osservazione fondamentale è che la funzione è di Weiers- 

 trass rappresenta la parte della variazione totale dell' integrando che non 

 diviene infinitesima col tendere a zero della massima distanza della curva 

 variata dalla curva che si studia: e che quindi i ragionamenti di Legendre 

 e di Jacobi relativi alla variazione seconda, quando in questa all' insieme 

 dei termini in cui entrano solo le variazioni delle derivate si sostituisca la 

 funzione & dovranno esser capaci di darci la dimostrazione del minimo. Qui 

 mi limiterò a sviluppare questo concetto nei suoi particolari per il più sem- 

 plice problema del calcolo delle variazioni, affinchè risulti più evidente la 

 struttura del ragionamento. Mi riserbo di tornare più tardi sull'applicazione 

 di esso a problemi meno semplici, onde mostrare la capacità che questo 

 metodo ha di risolvere in modo uniforme i problemi sopra ricordati, in 

 cui il concetto di campo non pare sufficiente. 



2. Comincerò collo studiare il problema in forma non parametrica : si 

 avrà da cercare quando una curva dà all' integrale 



il minimo valore rispetto alle curve S di equazione y = y(x) , che stanno 

 in una certa regione ed del piano xy, e passano per i due punti V 1 =(x l y l ), 



(') Lindeberg, Weber einige Fragen der Variationsrechnung. Math. Ann. (1909), 

 voi. 67, pag. 346. Vedi pure Lindeberg, Zur Theorie des relatìven Extremums etc. Math. 

 Ann. (1904), voi. 59. pag. 332; Bolza, loc. cit,, § 94. 



(*) Tali difficoltà furono segnalate da Bolza (loc. cit., pag. 523), Bliss e Mason (Am. 

 Transactions (1908), voi. 9, pag. 440), Eadon (Wiener Berichte 119, pag. 1294). 



( 3 ) Hahn, Weber Variationsprobleme mit variablen Endpunkten. Monatshefte ffir 

 Math. und Phys., voi. XXII (1911), pag. 127. Tale considerazione servi allo Hahn già in 

 molti problemi. 



( 4 ) Cfr. Hadamard, Legom sur le c aleni des varialions, voi. I, pp. 458-465. 



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