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? 2 = {xiy t ). Ammetterò con Bolza che / sia di classe C" quando (xy) sia 

 in 51 ed y sia finito; dirò M p > il massimo delle sue derivate di terz'ordine 



fatte rapporto aye / per (xy) in Sd ed |/|<y. Indicherò con £ un estre- 

 male y = y(x) passante per i punti Pj e P s ; porrò 



(1) P - f'yMyy') , Q = fl,{xyy') , R 1 ; 



e supporrò che sia \y'\<g[. Mi propongo di mostrare anzitutto che: se 



0 



nei punti di £ so/zo soddisfatte le condizioni seguenti 

 1° (2) R>0 



2° (3) &(x§; fy') > Q per 0 <|y' - y'\^ f', 



0 



3° ^ punto coniugato x[ di se, su £ precede x 2 , 



0 



« j^ò fr-oware ?2^é>ro r tate c7jg £ tfra I «7 minimo valore rispetto 

 a tutte le curve £ , per cui è 



(4) \y — y\<Lr , \y' — y'\<r' 



e che passano per P x e P 2 . 



Occorre perciò dare alla variazione totale Al che I subisce quando si 



0 



passa da g a g una particolare espressione. Nel fare le trasformazioni a 



ciò necessarie, noi supporremo senz'altro £ di classe C": è noto che se £ 

 dà ad I il minimo rispetto a tali curve, lo dà pure rispetto alle curve di 

 classe D' ( 1 ). 



Ciò posto, si indichi per brevità, con i? la funzione y — y; rammen- 

 tando che &(xy ; y'y') = f(xyy') — f(xyy') ~ V 'f' yl (xyy') , si ha 



AI = \ ''Xf(xyy) - f(xyy')-] dx = 



= j^[è(xy ; y'y') + (f(xyy') - f(xyy')) + rff y ,{xyy% dx . 

 Sviluppando f(xyy) — f(xyy') mediante la formula di Taylor e ram- 



0 



mentando che £ è un estremale, si ha 



[\f{xyy) fixyy')-] dx = P 2 \ r-jf^xyy') + \ ,» P + dx = 



(6) 1 jxi \ ù ) 



r ^\-^y>yy)^\n^^^\dx, 



' 00 \ 



l 1 ) Cfr. Bolza, loc. eifc., pp. 85-36. Basterebbe anzi supporre £ analitica; cfr. Ha- 

 damard. loc. cit. pp. 51 e sg. 



