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dove si è posto, indicando y un conveniente valore compreso fra y e y, 



(7) H%yffl) = ^t'yJ&yy')' 



Sostituendo (6) in (5) otteniamo 

 Al = J"*' j &(xy ; y'y') + 1 P?» + >/ lY^') - ^(^)] + f4 = 



(8) 



= jj" 2 j ; y'y') + \ (*V + 2 W 'Q) | <fe +£% 3 *i + *W ^ ' 



dove in modo analogo a (7) si è posto, indicando con y un valore compreso 

 fra y e y. 



(9) Hxyyy) = \ x f'^/xW) ■ 



3. La (8) si può ancora trasformare. Si noti che 

 (10) &{xy ; y'y') = [| f'^xyy') + V/] V" = [| » + ^ + w] , 



dove si è posto 



(il) As(aw') - |j f"}4%yy) , Hvyy'y') = f^yy') , 



y , y' indicando valori intermedii rispettivamente tra y e y , y' e y'. 

 Sicché sostituendo (10) in (8) avremo 



Al = | £' ?;3 (P>f + 2Q^' + %' 3 ) ^ + 



Questa formula non differisce realmente nell'aspetto da quella che si 

 otterrebbe sviluppando f(xyy') — f{xyy) mediante la formula di Taylor 

 arrestata ai termini di 3° ordine: però il modo speciale di dedurla confe- 

 risce alle A 3 , X 4 proprietà che ci permettono di dimostrare il teorema sopra 

 enunciato. 



Introduciamo perciò le ipotesi del nostro teorema. Le ipotesi 1° e 2° 



&(xy ; y'y') . ^ n o, v 



si possono riassumere in questa che __ y y e sempre >0 per y=y{x), 



y — y'\ < / : ne segue che si possono determinare due numeri r x e fi po- 



