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il quale godrà della proprietà associativa, e in causa della supposta permu- 

 tabilità delle quattro funzioni fra loro, anche della proprietà commutativa. 

 Quindi possiamo scriverlo mediante il prodotto: 



K,(a; , y) \ k,{x , y) ^K 2 {x , y) k 2 (x , y) ) ( 

 ossia mediante l'espressione 



(2) C"& K,(a? , f , r) f^K 2 (r , n w#) ir, 



Jy Jy 



la quale è dunque eguale all'espressione (1), e ottenuta da essa mediante 

 un cambiamento nell'ordine di integrazione. 



2. Supponiamo che le funzioni k x {sc , y) , k 2 (x , y) sieno rispettivamente 

 le funzioni associate alle funzioni Ki(x , y) K 2 (x , y) , cioè che si abbiano 

 le equazioni: 



(B) Ki(x , y) + ki{x , y) = f *K { (# , S) k^ , y) rf£ = 



Jy 



= { X ki{x , ì) K f (| > y) dì, 1 = 1,2. 



^2/ 



Allora se le due funzioni K^sc ,y) , K 2 (x , y) sono permutabili, saranno 

 tutte e quattro le funzioni, K,(« , y) , K 2 (x , y) , ^(as , y) , & 2 (rc , y) permu- 

 tabili fra loro, come si vede facilmente. 



Per mezzo dell'equazioni (B) possiamo scrivere l'espressione (2) nella 

 forma : 



(3) f *W K,(ar , £) f'k^ , ?') K,(r , y) di' + 



+ fW K^a; ,y) f\(£ , f) k^'y) dg 



u y Jy 



la quale, in causa della proprietà della permutabilità, è identica alla se- 

 guente : 



(4) PW K 2 (x , £) pK x (£ , r) Ai(ry) rff + 



+ f *W k x {x , |) ( * Kx(£ , r) A.(ry) • 



Uy 



3. Supponendo che si abbia 



K^x > y) == — K 2 {x , y) = K(x , y) , 



