— 456 — 



Il primo di questi integrali può esprimersi mediante il prodotto sim- 



n 



bolico Yì h[x , y) e il secondo mediante la potenza simbolica (K(x , y)) n . 



!=1 



§ 2. — Il nucleo è soluzione di un'equazione differenziale 

 lineare, omogena, in una sola variabile. 



4. Supponiamo che il nucleo K(x , y) soddisfaccia ad un'equazione del 



tipo 



(1) ±f i (x)^- i K(x,y) = 0 

 o del tipo 



m -ni 



(2) Z>(y)TbK(*,y) = 0. 



I due casi sono analoghi. Consideriamo dunque solamente il caso (1). 

 Dall'equazione (B) si ha l'equazione 



(3) ^K(^y) + ^%^> = 



= P yK ^/ ?) M , V) dS + Z -~ (Kt-^Ax , , ,)), 



dove l'espressione K f _i- S , 0 (cc , x) s'intende K(x , y) . Per con- 



seguenza se faremo sui due membri dell'equazione (A) l'operazione 



(4) ÌM*)^ 



troveremo che anche la k(x,y) soddisferà ad un'equazione dello stesso tipo (4). 

 I coefficienti si calcoleranno per mezzo delle funzioni fi(x), alla funzione 

 K(x , y), e alle sue derivate. E dall'equazioni (5) si calcoleranno i valori, 

 per y = x, della k(x,y) e delle sue prime n — 1 derivate rispetto al 

 primo argomento. 



§ 3. — Il CASO DEL CAPPIO CHIUSO. 



5. Si ottiene una grande semplificazione nel caso del cappio chiuso, 

 cioè nel caso in cui il nucleo è funzione della sola differenza delle variabili. 

 In questo caso, ancbe il nucleo dell'equazione risolvente è funzione della 



