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sola differenza delle variabili. Infatti, partendo dalle formule: 



co 



— k{z__,.y) = >_ Ki(cc , y) , 

 \ Ki{x,y) = K(x,y) per» = l, 



) Ki(x , y) = r~Ki-i(x , £) K(£ , y) d£ , per * > 1 , 



^2/ 



si vede subito cbe in questo caso la funzione associata è invariante per una 

 trasformazione ai = x + T , y' = y + T , con T qualsiasi. 



Per conseguenza, ponendo a = 0 per semplicità, possiamo scrivere le 

 equazioni : 



(1) u(x) = <p(x) + Ckìx — f ) k(£) ^ 



(2) K(x — y)+ k{x — y) = f *K(a: — £) £(£ — y) 



(3) = 5p(a?) — — £) 9>(£) <tè • 

 Ponendo = 0 nell'equazione (2) si ba 



(4) K{x) + k{x) = \\{x — %)k(£)d£. 



Quindi k(x) è una soluzione dell'equazione (1), la quale si ottiene met- 

 tendo (f{x) = — K(x). 



6. Supponiamo cbe il nucleo, considerato come funzione di una sola 

 variabile, sia soluzione di un'equazione differenziale, lineare, ordinaria, della 

 quale i coefficienti sono delle costanti qualsiasi. Cioè supponiamo che si abbia 



(5) 



Per mezzo della differenziazione, l'equazione (4) ci dimostra che le 

 prime n derivate della k(x) esistono e che anche la k{x) è soluzione di 

 uu'equazione differenziale del tipo (5), però con altri coefficienti. Abbiamo, 

 infatti, l'equazione 



(6) = ° 



dove le si danno per mezzo delle formule: 



\ bi = n Tà i+1+h 'K^((i) , j = Ò,l ,...,n-ii 

 (6') h=o 



b n = 0 , i = n. 



