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Perciò se poniamo 



j y Se 2 = A v 



Puh = i Ài ; Bi )fi)S = 2_ 



0 se i=^h 





Afti Aft r) . 





1 



Ar,i A^jfj . 



• • A rirj 



A r) ... X rs 









A ri i A rsri 



• • Af S >- s 



ove il sommatorio Y va esteso a tutte le l j combinazioni della 



classe s degli indici 1,2,...?' — 1 , i -f- 1 , ... — 1 , A -{- 1 , ... » , 

 avremo (') 



(4) «a=|>a tf o + t~tZ B a.s^+i (e , A = 1 , ... ») 



A i ™h s =o 



essendo le <? 0 c l ... c? g delle costanti arbitrarie. 



2. Notiamo subito che preso un sistema di valori delle che soddi- 

 sfanno alle (4), se K 0 (x , y) è una soluzione particolare della (3) e se 



®{x , y) = a(x , y) — J sfv(y) «(# , /) y r (0 <fr — 



re 



— y tp r {x) ìp r {s) a(s % y)ds-\- 



n rb rb 



+ J_ <Pi(y)Vh{%) fh(s)ds a(s , t) (pi(t) dt , 



ove la a(cc , è una funzione arbitraria integrabile nel campo (a , b), la 

 soluzione generale della (3) sarà K 0 {x , y) + , y). 

 Ancora se 



h{x,y)= X a lh<Pi(x)*Ph{y) 



ove 



1 £i 



(5) <2 ( -,h = j-y y_ Bj, ft)S tf s+1 , 



e se H(a; , y) , Gr(.z , y) sono rispettivamente due soluzioni particolari delle 

 equazioni 



(6) f 6 F(cc , s) H(s ,y)ds= f H(as , s) F(s ,y)ds = h(x , y) 



(7) Pf(» , s) G(* ,y)ds= f G(a5 , s) H(s ,y)ds = F(a? , y) 



(*) V. formola a pag. 568, loc. cit. 



