— 466 — 



Matematica. — Sulle condizioni sufficienti per il minimo nel 

 calcolo delle variazioni. (Gli integrali sotto forma non parame- 

 dica). Nota II di Eugenio Elia Levi, presentata dal Socio L. Bianchi. 



4. Nel teorema dimostrato nella Nota precedente { l ) si impose all' incli- 

 nazione delle curve variate E di soddisfare ad una disuguaglianza della forma 

 \y' — $'|<.r\ Ciò è naturale: perchè è ben noto per un'osservazione del Bolza 

 che solo in questa ipotesi è possibile, per il problema in forma non parametrica, 



0 



ridurre le condizioni di minimo a condizioni relative al solo estremale ©, 

 quali sono quelle del teorema del n. 2. Quando si voglia trattare il pro- 

 blema senza imporre una limitazione di tale tipo, generalmente si enuncia 

 che condizione sufficiente per il minimo è che, oltre alle solite condizioni 



0 



di Legendre e di Jacobi, esista un campo attorno all'estremale (E tale che, 

 detta n{xy) l'inclinazione ( 2 ) del campo nel punto {xy), sia &(xy\n{xy)y')>0 

 p er \y' — =4= 0. Volendo noi escludere dai nostri ragionamenti il con- 



cetto di campo non potremo naturalmente dimostrare un tale enunciato, nel 

 quale entra esplicitamente questo concetto medesimo. Dimostreremo invece 

 il teorema seguente : 



Se £ è tale che, indicando con r x un numero convenientemente pic- 

 colo, si abbia che: 



1° (2) K>0, 



2° (3) tó &(xy;yy')>0 per \y — y{x)\^.r x y' y\ 



0 



3° il punto x[ coniugalo di x x su E segue x z , 



0 



si può trovare un r<r x tale che (£ dia ad I il valore minimo rispetto 

 alle curve (£ per cui è \y{x) — y(%)\< r e che congiungono P, e P 2 . 



Prima di dimostrare questo teorema, confrontiamolo coli' ordinario teo- 

 rema sopra rammentato. Intanto esso non è punto equivalente a questo, 

 perchè per quanto, fissato un campo ed un numero a convenientemente pic- 



0 



colo, sia sempre possibile prendere un intorno tanto piccolo di t£ che in 

 esso sia \n(xy) — ■ y(x)\<C tuttavia quando y varia da — co a -{-oo non 

 si può dalla condizione è{xy;yy')>0 dedurre la &(xy .; n{xy) y') > 0, nè 



(') Questi Rendiconti, pag. 425. Nella presente Nota per maggiore comodità la nu- 

 merazione dei § e delle formale continua quella della Nota precedente. 



( a ) Cioè, se y = Y(a?) è l'equazione dell'estremale del campo che passa per il punto 

 xy, si ponga n(xy) = T'(x) : i tedeschi chiamano tale funzione Gefàllsfunktion. 



