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viceversa. Esso esprime quindi una nuova condizione sufficiente per il mi- 

 nimo : ed anzi a me pare che il nuovo criterio che viene pertanto da noi 

 enunciato, presenti qualche vantaggio pratico, in quanto per applicarlo non 

 occorre il calcolo della funzione n{xy) per i punti che non appartengano 

 all'estremale che si studia ( 1 ). 



Non mancheremo di notare del resto che evidentemente sia il criterio 

 ordinario, che questo nostro sono certo soddisfatti se il problema è rego- 

 lare, e cioè se è fy t %(xyy) > 0 qualunque sia y. 



5. Per dimostrare questo nuovo teorema non si può senz'altro seguire 

 il ragionamento che usammo nel n. 3. Perchè è vero che le condizioni (2) 

 (3) Ws si possono ancora scrivere dicendo che è soddisfatta la (13) qualunque 

 sia y': ma ciò non basta, perchè il numero Ì/L p r che compare in (23) nel 

 formare la limitazione per X 4 , può crescere oltre ogni limite col crescere di q': 

 e con esso crescerà H. 



Per superare tale difficoltà rissiamo un numero r' arbitrario; e presa 

 una qualunque curva S chiamiamo x 1' insieme di punti di [x l x 2 ) in cui 

 è \rf\<C r ', Xi l'insieme complementare in cui >./•'. È noto che potremo 

 parlare — almeno quando gli integrali si prendano nel senso di Lebesgue — 

 di integrali estesi ai campi / e Xi. 



Riprendiamo, ciò posto, la formula (8) e trasformiamola subito col fare 



la posizione (16): avremo aggiungendo e togliendo - R?/ 2 , colla solita trasfor- 

 inazione di Jacobi: 



Spezziamo il primo di questi integrali in due parti, V uno esteso a x ■> 

 e l'altro a X\ '• P er quanto riguarda il primo scriveremo procedendo come 

 al n. 3 e mantenendo quelle stesse notazioni, 



Al = f *' [&{xy ; y'y') - \ R,{u'*f + 2 W ' p')~\ dx + 



(26) 



f [&{xy ; y'y') - \ B(» V + Wp') dx = 



(27) 



\ R + A 3 rj + hrf} u*f dx + \(hv + W) {u' s p 2 +2r ì u'p')dxl 



( x ) Nel caso degli integrali sotto forma parametrica che studieremo nelle prossime 

 Note troreremo una più perfetta uniformità coi risultati dell'ordinaria teoria. 



