xx ±_yy _^ 0 



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dei primi 3 ordini, di F, e delle sue derivate prime, di F 2 quando xy resta 

 in un certo campo ed #V sono tali CDe + = 1 



Dimostreremo che. se la curva k che riferita all'arco ha le equazioni 

 (2) x = x{s) , y — y(s), 



è priva di punti multipli, passa per i due punti Pi = (ziVi) , P* = (a>ty*h 

 sta in 31, è un estremale per l'integrale (1), ed infine soddisfa alle con- 

 dizioni seguenti: 



1°) Fi(sc$ ; xy) >. ,«■ > 0 



2°) ; ; às'yO > 0 ? Mfltóo W(m sia 1 — 



0 



3°) il punto x[y[ coniugalo su S di x x y x segue x z y z . 



la curva Ì dà ad l il valore mimmo rispetto a tutte le curve che pas- 



0 



sano per Pi e P 2 e giacciono in un conveniente intorno di (£. 



2. Ci occorre anzitutto indicare un modo conveniente di fissare il para- 

 metro sulle curve variate di guisa che risulti comodo il confronto dei valori 



0 



di I per esse e per ì . Osserveremo anzitutto che dalle ipotesi fatte per (5 



segue che la curvatura di & è finita: la indicheremo con k e chiameremo x 



2M m . 



il suo massimo valore: sarà x< ( ). Avremo 



(3) 



x 



>! r == _ k ^^ = =kx';Vx" s ^y" z = k. 



Indicheremo con P(s) il punto Ì di parametro s , e conteremo l'arco a par- 



00 » 



tire Pi: sarà, indicando con la lunghezza di ©, P(0) = Pi , P(tf)=P 2 . 



Alle curve variate S imporremo di restare in quella parte S&i di Sfl 

 che soddisfa alla condizione che per ogni punto P di essa passa una ed una 



sola normale a £: poiché è non ha punti multipli per costruire f&, basta 



0 



staccare sulle normali a £ da entrambe le parti a partire da S un seg- 

 mento < - . Presa poi una qualunque curva (g di SU, passante per Pi e 



X 



( 1 ) Sono queste le notazioni e le ipotesi di cui fa uso il Bolza nel suo trattato già 

 citato. n n 



( 2 ) Invero l'equazione degli estremali si può scrivere k = • co ^ a ' 



loc. cit., pag. 203, formula (23) 6 . 



