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P 2 , chiameremo t l'arco su di essa contato a partire da Pi : e, conforme ad 

 ima osservazione già fatta in una Nota precedente, supporremo senz'altro 

 che, scritte le equazioni di (5 nella forma 



(4) x = x(t) , y = y(t), 



queste funzioni siano di classe C". Indicheremo con V(t) il punto di & di 

 parametro t ; sarà, indicando con T§ la lunghezza di (S, P(0) = Pi , P(t) = P 2 . 

 Dalle ipotesi fatte sopra segue che per ogni punto P(£) di S potremo con- 



0 



durre una ed una sola normale a fè : sia s(t) il valore del parametro s cor- 

 ei 



rispondente a tale normale. Fissato sulle normali a t£ il verso positivo nel 



0 



modo usuale, indichiamo con to(t) il segmento ~P(s(t)) P(£) preso col suo 

 segno: potremo scrivere le equazioni (4) nella forma 



x = x(s(t)) -f to{t) y(s(t)) 



(5) o Q (»(0) = = 0). 

 1 y = y(s(t))-<o(nx'(s(t)) 



Avremo allora 



x' = xs' -f - -f- <w$'V = -j- se' [(1 -f- #<w) s' — 1] -j- co'y , 



(6) 



E poiché t è l'arco di S trarremo 



(7) 1 = to'' + s' 2 ( 1 + kco)\ 

 onde in particolare 



(8) |«'|:<1 . |(1 + A"!)./| : <1. 



Indicando con r un'indeterminata, supporremo d'ora in poi | co | <.r. 

 Per quanto precede dovrà intanto essere r < ~ . Supporremo per semplicità 



r <C Ì ,r <Cx~' segue intanto allora da (8): 

 (8) b<s |s'|<2 . 



Ed il teorema da noi enunciato consisterà nel mostrare che si può pren- 

 dere r tanto piccolo che le curve (5) per cui |a»| <.r diano ad I un valore 



0 



maggiore di quello di S . 



3. Prima di dimostrare il nostro teorema occorre ancora trovare una 

 conveniente espressione per la funzione & di Weierstrass. Serberemo le nota- 

 zioni del n°. precedente : noteremo inoltre esplicitamente che ove compare 

 una funzione di s si deve immaginare in essa posto s=s{t). 



