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dimodoché l'equazione differenziale delle lossodromiche di S è 



^ Tu = a9 ' 



essendo a una costante ( ] ). 



Le funzioni incognite u e v' devono in questo caso sodisfare al sistema 



(4) 



~òu' Dy' D»/ 1>V 



~òu Dy ~òv ~òu 



~òu' ~òu' Dz/ Dj/ 



DM ~bV DM liV 



\~òu) "* \ Dm 1 



\1vi 1 \~ÒV 



= # v ; 



che si riduce all'antico per g> = 1 [cfr. la Nota citata, formole (11)]. 



Una trasformazione algebrica permette di trasformare il sistema (4) 

 nel seguente sistema lineare 



(5) 



W = 1 Dj/ t/1 + ^ 2 ^ 

 Dm + A ^ 7/ ^ Dy 



Dm ~ h ~òu h ^ Dy 



Dalle (5) si ottiene l'equazione 



Va' • . DV . , D 2 m' tt Dm' 72 , v DM r 



(ti 0> — r — 2tog> 2 h k ( f TTT = U AVV — , 



v ' *dm 2 y dm Dy Dy 2 Dm Dy 



avendo posto 



(7) ^ = Ui ^ == v ; = 



v ' Dm Dy -|/l + 7i 2 



La (6) è integrabile col metodo di Monge. Formiamo le note equazioni 

 ausiliarie 



c dv* -j- 2km<pdudo -)- k 2 g> 2 du 2 = 0, 



i 9 flfp + *y <fy — (Up — A 8 $p* V?) rfy = 0 , 



(') È degno di nota che l'equazione differenziale delle lossodromiche di una super- 

 ficie S, rispetto alle linee v (o u) d'un suo sistema curvilineo qualunque (u,v), contiene 

 come caso particolare quella da cui dipende la ricerca dei sistemi isotermi di S. Nel 

 caso nostro, supponendo che nella (3) a sia in generale un immero complesso, basta in 

 particolare porre a eguale all'unità immaginaria i. 



