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essendo 



Dalla l a delle (8) ricaviamo 



dv 



= — kw(m z±z i t/l — m 2 ), 



du 



dove è 1 — m z > 0 . 



Poniamo per brevità 



(IO) ^ = — ij/l — w 2 ) , # 2 = — £(w — /|/l — m 2 ), 



e cominciamo dal considerare l'equazione 



Se, come abbiamo supposto, si conosce l'equazione delle lossodromiche 

 di S in termini finiti, cioè l'integrale generale di (3), avremo anco l'inte- 

 grale generale di (11) cambiando in quello di (3) a in g x . Sia dunque 



(12) v = f(u,g 1 ,c)=f 1 



l'integrale generale di (11), essendo c una costante arbitraria. 

 Poniamo 



(13) SPi - <p(u , v) v=fi , Ux = (U) y=/i , Y 1 = (V) v=fl • 



La 2 a delle (8), tenuto conto delle (11), (12), (13), si trasforma in 

 quest'altra : 



(14) g x dp -j- k*g>i dq — g x (^ l p--k 2 g> ì V 1 q jdu = 0, 



la quale, com' è facile verificare, è completamente integrabile. Il suo inte- 

 grale è 



du 



(15) giP + P^q — Ggrf" 1 =0, 



essendo C una costante arbitraria. 

 Poniamo 



~~ ( — - du 



(16) e =0>(«,^,c) . 



