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E quindi dalle (5) segue, introducendo le (23) e tenendo conto di (7) e (10), 



(24) 



— i p,(fl,) ■ Fg(gO~| . 



e anco i secondi membri delle (24) sodisfanno alle condizioni necessarie e 

 sufficienti per rappresentare le derivate parziali di una stessa funzione v' : 

 cosa che del resto si verifica subito con l'aiuto delle identità (22). Potremo 

 dunque scrivere 



F 2 (0 8 )" 



i r»r p,^) 

 — r 9 



+ 



ì 



(25) 



gi — g* 



gi — g* 



Pi(0i 



<2>S> 



P 2 (0 2 ) P 



_ <jpd> 2 ^(P 



cost , 



gi — g* 



J* 4 L «p*i 



rfy -f" cost , 



'w=M2 



essendo Ui,Vi , w 2 , y 2 valori affatto arbitrari. 



Note dunque 6 1 e 0«, che derivano direttamente dall'integrale di (3) 

 risoluto rispetto alla costante di integrazione, le forinole di rappresentazione 

 isodromica di S su S' son date per quadrature dalle (25): come si voleva 

 dimostrare. 



2. Consideriamo qualche caso particolare. 



a) La (p è una costante eguale a 1. — Il sistema (u,v) costituisce 

 allora un sistema isotermo sulla S . Ponendo h = tg co e tenendo presenti 

 le (7) e (10), si può scrivere in questo caso 



6 1 = ku -\- è* im v , 0 2 = ku + e Mm v , ^ = <P 4 = 1 ; 



e dalle (25) si deduce facilmente, essendo <Z> simbolo di funzione arbitraria, 



(26) m' + »V = <P(Aw + 



come abbiamo già trovato nella Nota più volte citata [pag. 665, formola (17)]. 



Va ancora notato che anco le linee v = costante della S' costituiscono 

 una famiglia di linee isoterme: ciò si deduce facilmente dalla (26), ricor- 

 dando che il sistema (u' , v') di S' è per ipotesi isotermo (n. 1). Infatti con 

 la trasformazione 



a = ku -{~ cos <» . v , § = sin m . v , 

 Rendiconti. 1911, Voi. XX, 2° Sem. 74 



