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la (26) diviene 



u -|- iv' — Q>(a rt ifi) . 



Ora il sistema (a,/?) è certamente isotermo sulla S', e poiché le linee (t 

 coincidono con le linee v, anco queste ultime sono isoterme sulla S'. 



Pertanto possiamo concludere che se la famiglia di linee fondamen- 

 tali r scelta sulla S è isoterma, le linee corrispondenti alle r in una 

 rappresentazione isodromica di S su S' costituiscono pure una famiglia 

 isoterma. 



b) La (f è il quoto d'una funzione della sola u per una funzione 

 della sola v. — Sia 



k(u) 



Be- 

 lile funzioni d 1 e d 2 si può dare la seguente forma : 



6 i = kjk{u) du -f e^ Jb§>) dv , 0 2 = k \k{u) du -f e ±l '"> ( B(y) . 



Segue inoltre 



1 



(D l = <p 2 — 



Afa) ' 

 e dalle (25) si ricava 



u' + iv = ^ {kjk{u) du + [b(v) dv^j , 



dove i// è simbolo di funzione arbitraria. 



Notiamo subito che questo caso si riconduce al precedente, giacché nel- 

 F ipotesi fatta il sistema (u , v) della S è in fondo isotermo, e i parametri 



isometrici sono appunto fk(u)du e ÌB{v)dv. 



c) L'elemento lineare di S è riducibile alla forma 

 ds z = W [du 2 + (« -f- W,) 2 dv^ . 



in cui W e W, sono funzioni qualunque della sola v. 



Le superficie in discorso costituiscono una classe ben nota, e per Wj 

 eguale a una costante si riducono a superficie applicabili sulle superficie 

 spirali ( ] ). Il problema della loro rappresentazione isodromica sopra ima 

 qualunque superfìcie S', riferita a un sistema isotermo (vi , v'), è riducibile 



(') Vedi Darboux, Le.cons sur La théorie generale cles surfaces, III, pp. 82-83. 



